Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{3 (2 x + 5) (2 x - 5)}{3 (2 x + 5)}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{3 (2 x + 5) (2 x - 5)}{3 (2 x + 5)}$ est indéfinie.

$x = - \frac{5}{2}$

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Étape 5

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 6.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.1

Annulez le facteur commun à $12 x^{2} - 75$ et $6 x + 15$ .

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Étape 6.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $12 x^{2}$ .

$\frac{3 (4 x^{2}) - 75}{6 x + 15}$

Étape 6.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 75$ .

$\frac{3 (4 x^{2}) + 3 (- 25)}{6 x + 15}$

Étape 6.1.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (4 x^{2}) + 3 (- 25)$ .

$\frac{3 (4 x^{2} - 25)}{6 x + 15}$

Étape 6.1.1.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $6 x$ .

$\frac{3 (4 x^{2} - 25)}{3 (2 x) + 15}$

Étape 6.1.1.4.2

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$\frac{3 (4 x^{2} - 25)}{3 (2 x) + 3 (5)}$

Étape 6.1.1.4.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (2 x) + 3 (5)$ .

$\frac{3 (4 x^{2} - 25)}{3 (2 x + 5)}$

Étape 6.1.1.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (4 x^{2} - 25)}{3 (2 x + 5)}$

Étape 6.1.1.4.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x^{2} - 25}{2 x + 5}$

Étape 6.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.2.1

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{{(2 x)}^{2} - 25}{2 x + 5}$

Étape 6.1.2.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{{(2 x)}^{2} - 5^{2}}{2 x + 5}$

Étape 6.1.2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 x$ et $b = 5$ .

$\frac{(2 x + 5) (2 x - 5)}{2 x + 5}$

Étape 6.1.3

Annulez le facteur commun de $2 x + 5$ .

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Étape 6.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 x + 5) (2 x - 5)}{2 x + 5}$

Étape 6.1.3.2

Divisez $2 x - 5$ par $1$ .

$2 x - 5$

Étape 6.2

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = 2 x - 5$

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = 2 x - 5$

Étape 8