Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{2 x + 2}{\sqrt{x^{2} + x - 12}}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{2} + x - 12}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} + x - 12 \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} + x - 12 = 0$

Étape 2.2

Factorisez $x^{2} + x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $1$ .

$- 3, 4$

Étape 2.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 3) (x + 4) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.5

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 3, - 4$

Étape 2.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 4$

$- 4 < x < 3$

$x > 3$

Étape 2.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 2.8.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 6)}^{2} - 6 - 12 \geq 0$

Étape 2.8.1.3

Le côté gauche $18$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.8.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{2} + 0 - 12 \geq 0$

Étape 2.8.2.3

Le côté gauche $- 12$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 2.8.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

${(6)}^{2} + 6 - 12 \geq 0$

Étape 2.8.3.3

Le côté gauche $30$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 4$ Vrai

$- 4 < x < 3$ Faux

$x > 3$ Vrai

$x < - 4$ Vrai

$- 4 < x < 3$ Faux

$x > 3$ Vrai

Étape 2.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 4$ ou $x \geq 3$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x + 2}{\sqrt{x^{2} + x - 12}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{x^{2} + x - 12} = 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x^{2} + x - 12}}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + x - 12}$ comme ${(x^{2} + x - 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} + x - 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez ${({(x^{2} + x - 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + x - 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + x - 12)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} + x - 12)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} + x - 12)}^{1} = 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.2

Simplifiez

$x^{2} + x - 12 = 0^{2}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x^{2} + x - 12 = 0$

Étape 4.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $x^{2} + x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.3.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $1$ .

$- 3, 4$

Étape 4.3.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 3) (x + 4) = 0$

Étape 4.3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 4.3.3

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.3.3.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 4.3.3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 4.3.4

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.3.4.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 4.3.4.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 4.3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 3, - 4$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 4) \cup (3, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x < - 4, x > 3}$

Étape 6