Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x}{3 x + 3}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x^{2} + 2 x}{3 x + 3}$ est indéfinie.

$x = - 1$

Étape 2

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 3

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Étape 4

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 5

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 5.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + 2 x$ .

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Étape 5.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 2 x}{3 x + 3}$

Étape 5.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2}{3 x + 3}$

Étape 5.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$\frac{x (x + 2)}{3 x + 3}$

Étape 5.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 3$ .

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Étape 5.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{x (x + 2)}{3 (x) + 3}$

Étape 5.1.2.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{x (x + 2)}{3 (x) + 3 (1)}$

Étape 5.1.2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (x) + 3 (1)$ .

$\frac{x (x + 2)}{3 (x + 1)}$

Étape 5.2

Développez $x (x + 2)$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2}{3 (x + 1)}$

Étape 5.2.2

Remettez dans l’ordre $x$ et $2$ .

$\frac{x \cdot x + 2 x}{3 (x + 1)}$

Étape 5.2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cdot x + 2 x}{3 (x + 1)}$

Étape 5.2.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cdot x + 2 x}{3 (x + 1)}$

Étape 5.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{1 + 1} + 2 x}{3 (x + 1)}$

Étape 5.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x}{3 (x + 1)}$

Étape 5.3

Développez $3 (x + 1)$ .

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Étape 5.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 2 x}{3 x + 3 \cdot 1}$

Étape 5.3.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x}{3 x + 3}$

Étape 5.4

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$3 x$

$3$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

Étape 5.5

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

					$\frac{x}{3}$
	$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$

Étape 5.6

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Étape 5.7

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + x$

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Étape 5.8

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$

Étape 5.9

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$0$

Étape 5.10

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 x$ .

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$0$

Étape 5.11

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

Étape 5.12

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x + 1$

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

Étape 5.13

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$
							-	$1$

Étape 5.14

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\frac{x}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3 x + 3}$

Étape 5.15

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = \frac{x}{3} + \frac{1}{3}$

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - 1$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = \frac{x}{3} + \frac{1}{3}$

Étape 7