Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{4 x - 1}{x - 2} + \sqrt{6 x - x^{2} - 5}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{6 x - x^{2} - 5}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$6 x - x^{2} - 5 \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$6 x - x^{2} - 5 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $6 x - x^{2} - 5$ .

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Étape 2.2.1.1

Remettez dans l’ordre $6 x$ et $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 6 x - 5 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 6 x - 5 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $6 x$ .

$- (x^{2}) - (- 6 x) - 5 = 0$

Étape 2.2.1.4

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$- (x^{2}) - (- 6 x) - 1 \cdot 5 = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 6 x)$ .

$- (x^{2} - 6 x) - 1 \cdot 5 = 0$

Étape 2.2.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 6 x) - 1 (5)$ .

$- (x^{2} - 6 x + 5) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x^{2} - 6 x + 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $5$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 5, - 1$

Étape 2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((x - 5) (x - 1)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x - 5) (x - 1) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 2.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x - 5) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 5, 1$

Étape 2.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 1$

$1 < x < 5$

$x > 5$

Étape 2.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.8.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$6 (0) - {(0)}^{2} - 5 \geq 0$

Étape 2.8.1.3

Le côté gauche $- 5$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 2.8.2.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$6 (3) - {(3)}^{2} - 5 \geq 0$

Étape 2.8.2.3

Le côté gauche $4$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 2.8.3.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$6 (8) - {(8)}^{2} - 5 \geq 0$

Étape 2.8.3.3

Le côté gauche $- 21$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 1$ Faux

$1 < x < 5$ Vrai

$x > 5$ Faux

$x < 1$ Faux

$1 < x < 5$ Vrai

$x > 5$ Faux

Étape 2.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$1 \leq x \leq 5$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 x - 1}{x - 2}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 2 = 0$

Étape 4

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[1, 2) \cup (2, 5]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | 1 \leq x \leq 5, x \neq 2}$

Étape 6