Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{(3 x + 5) (x + 9)}{2 (3 x + 5)}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{(3 x + 5) (x + 9)}{2 (3 x + 5)}$ est indéfinie.

$x = - \frac{5}{3}$

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Étape 5

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 6.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.1.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 45 = 135$ et dont la somme est $b = 32$ .

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Étape 6.1.1.1.1

Factorisez $32$ à partir de $32 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 32 (x) + 45}{6 x + 10}$

Étape 6.1.1.1.2

Réécrivez $32$ comme $5$ plus $27$

$\frac{3 x^{2} + (5 + 27) x + 45}{6 x + 10}$

Étape 6.1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} + 5 x + 27 x + 45}{6 x + 10}$

Étape 6.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.1.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(3 x^{2} + 5 x) + 27 x + 45}{6 x + 10}$

Étape 6.1.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (3 x + 5) + 9 (3 x + 5)}{6 x + 10}$

Étape 6.1.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 5$ .

$\frac{(3 x + 5) (x + 9)}{6 x + 10}$

Étape 6.1.2

Factorisez $2$ à partir de $6 x + 10$ .

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$\frac{(3 x + 5) (x + 9)}{2 (3 x) + 10}$

Étape 6.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{(3 x + 5) (x + 9)}{2 (3 x) + 2 (5)}$

Étape 6.1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x) + 2 (5)$ .

$\frac{(3 x + 5) (x + 9)}{2 (3 x + 5)}$

Étape 6.1.3

Annulez le facteur commun de $3 x + 5$ .

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Étape 6.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(3 x + 5) (x + 9)}{2 (3 x + 5)}$

Étape 6.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 9}{2}$

Étape 6.2

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2$

$x$

$9$

Étape 6.3

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2$ .

			$\frac{x}{2}$
	$2$		$x$	+	$9$

Étape 6.4

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

		$\frac{x}{2}$
$2$		$x$	+	$9$
	+	$x$

Étape 6.5

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x$

		$\frac{x}{2}$
$2$		$x$	+	$9$
	-	$x$

Étape 6.6

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

		$\frac{x}{2}$
$2$		$x$	+	$9$
	-	$x$
		$0$

Étape 6.7

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

		$\frac{x}{2}$
$2$		$x$	+	$9$
	-	$x$
		$0$	+	$9$

Étape 6.8

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\frac{x}{2} + \frac{9}{2}$

Étape 6.9

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = \frac{x}{2}$

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = \frac{x}{2}$

Étape 8