Pré-calcul Exemples

$f (x) = \sqrt{x - \frac{4}{x}}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x - \frac{4}{x}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x - \frac{4}{x} \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x, 1$

Étape 2.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x$

Étape 2.2

Multiplier chaque terme dans $x - \frac{4}{x} \geq 0$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.2.1

Multipliez chaque terme dans $x - \frac{4}{x} \geq 0$ par $x$ .

$x \cdot x - \frac{4}{x} x \geq 0 x$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} - \frac{4}{x} x \geq 0 x$

Étape 2.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.2.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{x}$ dans le numérateur.

$x^{2} + \frac{- 4}{x} x \geq 0 x$

Étape 2.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + \frac{- 4}{x} x \geq 0 x$

Étape 2.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} - 4 \geq 0 x$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Multipliez $0$ par $x$ .

$x^{2} - 4 \geq 0$

Étape 2.3

Résolvez l’inégalité.

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Étape 2.3.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} \geq 4$

Étape 2.3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{4}$

Étape 2.3.3

Simplifiez l’équation.

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Étape 2.3.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.3.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \geq \sqrt{4}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.2.1

Simplifiez $\sqrt{4}$ .

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Étape 2.3.3.2.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$| x | \geq \sqrt{2^{2}}$

Étape 2.3.3.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \geq | 2 |$

Étape 2.3.3.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$| x | \geq 2$

Étape 2.3.4

Écrivez $| x | \geq 2$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 2.3.4.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 2.3.4.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \geq 2$

Étape 2.3.4.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 2.3.4.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \geq 2$

Étape 2.3.4.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \geq 2 & x \geq 0 \\ - x \geq 2 & x < 0 \end{cases}$

Étape 2.3.5

Déterminez l’intersection de $x \geq 2$ et $x \geq 0$ .

$x \geq 2$

Étape 2.3.6

Divisez chaque terme dans $- x \geq 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.3.6.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq 2$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{2}{- 1}$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.6.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{2}{- 1}$

Étape 2.3.6.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{2}{- 1}$

Étape 2.3.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.6.3.1

Divisez $2$ par $- 1$ .

$x \leq - 2$

Étape 2.3.7

Déterminez l’union des solutions.

$x \leq - 2$ ou $x \geq 2$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{4}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 4

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq - 2, x \geq 2}$

Étape 5