Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$ est indéfinie.

$x = 1$

Étape 2

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 3

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Étape 4

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 5

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 5.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}$

Étape 5.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 5.1.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Étape 5.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 5.2

Développez ${(x - 1)}^{2}$ .

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Étape 5.2.1

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{x^{3}}{(x - 1) (x - 1)}$

Étape 5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3}}{x (x - 1) - 1 (x - 1)}$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3}}{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}$

Étape 5.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3}}{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Étape 5.2.5

Remettez dans l’ordre $x$ et $- 1$ .

$\frac{x^{3}}{x \cdot x - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Étape 5.2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3}}{x \cdot x - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Étape 5.2.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3}}{x \cdot x - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Étape 5.2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{3}}{x^{1 + 1} - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Étape 5.2.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Étape 5.2.10

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 1 x - 1 x + 1}$

Étape 5.2.11

Soustrayez $1 x$ de $- 1 x$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 2 x + 1}$

Étape 5.3

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Étape 5.4

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Étape 5.5

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Étape 5.6

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - 2 x^{2} + x$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Étape 5.7

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

Étape 5.8

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

Étape 5.9

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

Étape 5.10

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

Étape 5.11

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{2} - 4 x + 2$

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

Étape 5.12

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

$3 x$

$2$

Étape 5.13

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$x + 2 + \frac{3 x - 2}{x^{2} - 2 x + 1}$

Étape 5.14

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = x + 2$

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = 1$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = x + 2$

Étape 7