Pré-calcul Exemples

$f (x) = \sqrt[4]{x} + 6$ ; find $f^{- 1} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \sqrt[4]{x} + 6$ comme une équation.

$y = \sqrt[4]{x} + 6$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \sqrt[4]{y} + 6$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt[4]{y} + 6 = x$ .

$\sqrt[4]{y} + 6 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt[4]{y} = x - 6$

Étape 3.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $4$ .

${\sqrt[4]{y}}^{4} = {(x - 6)}^{4}$

Étape 3.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{y}$ comme $y^{\frac{1}{4}}$ .

${(y^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(x - 6)}^{4}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Étape 3.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(x - 6)}^{4}$

Étape 3.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(x - 6)}^{4}$

Étape 3.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(x - 6)}^{4}$

Étape 3.4.2.1.2

Simplifiez

$y = {(x - 6)}^{4}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Simplifiez ${(x - 6)}^{4}$ .

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Étape 3.4.3.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$y = x^{4} + 4 x^{3} \cdot - 6 + 6 x^{2} {(- 6)}^{2} + 4 x {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}$

Étape 3.4.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.1.2.1

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$y = x^{4} - 24 x^{3} + 6 x^{2} {(- 6)}^{2} + 4 x {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}$

Étape 3.4.3.1.2.2

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$y = x^{4} - 24 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 36 + 4 x {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}$

Étape 3.4.3.1.2.3

Multipliez $36$ par $6$ .

$y = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} + 4 x {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}$

Étape 3.4.3.1.2.4

Élevez $- 6$ à la puissance $3$ .

$y = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} + 4 x \cdot - 216 + {(- 6)}^{4}$

Étape 3.4.3.1.2.5

Multipliez $- 216$ par $4$ .

$y = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + {(- 6)}^{4}$

Étape 3.4.3.1.2.6

Élevez $- 6$ à la puissance $4$ .

$y = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[4]{x} + 6$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Utilisez le théorème du binôme.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = {\sqrt[4]{x}}^{4} + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot 6 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.2.1

Réécrivez ${\sqrt[4]{x}}^{4}$ comme $x$ .

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Étape 5.2.3.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{x}$ comme $x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = {(x^{\frac{1}{4}})}^{4} + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot 6 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x^{\frac{1}{4} \cdot 4} + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot 6 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.2.1.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x^{\frac{4}{4}} + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot 6 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.3.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.2.3.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot 6 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.2.1.5

Simplifiez

Étape 5.2.3.2.2

Réécrivez ${\sqrt[4]{x}}^{3}$ comme $\sqrt[4]{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 4 \sqrt[4]{x^{3}} \cdot 6 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.2.3

Multipliez $6$ par $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.2.4

Multipliez $6$ par $6^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.3.2.4.1

Déplacez $6^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 6^{2} \cdot (6 {\sqrt[4]{x}}^{2}) + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.2.4.2

Multipliez $6^{2}$ par $6$ .

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Étape 5.2.3.2.4.2.1

Élevez $6$ à la puissance $1$ .

Étape 5.2.3.2.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 6^{2 + 1} {\sqrt[4]{x}}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.2.4.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 6^{3} {\sqrt[4]{x}}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.2.5

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 {\sqrt[4]{x}}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.2.6

Réécrivez ${\sqrt[4]{x}}^{2}$ comme $\sqrt{x}$ .

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Étape 5.2.3.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{x}$ comme $x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 x^{\frac{1}{4} \cdot 2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.2.6.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 x^{\frac{2}{4}} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.2.6.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 5.2.3.2.6.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 x^{\frac{2 (1)}{4}} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.2.6.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.2.6.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.2.6.4.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 5.2.3.2.6.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 x^{\frac{1}{2}} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.2.6.5

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.2.7

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 216 + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.2.8

Multipliez $216$ par $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.2.9

Élevez $6$ à la puissance $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.3

Utilisez le théorème du binôme.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 ({\sqrt[4]{x}}^{3} + 3 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.4.1

Réécrivez ${\sqrt[4]{x}}^{3}$ comme $\sqrt[4]{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.4.2

Réécrivez ${\sqrt[4]{x}}^{2}$ comme $\sqrt{x}$ .

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Étape 5.2.3.4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{x}$ comme $x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{1}{4} \cdot 2} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.4.2.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{2}{4}} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.4.2.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 5.2.3.4.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{2 (1)}{4}} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.4.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.4.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.4.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 5.2.3.4.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.4.2.5

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 \sqrt{x} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.4.3

Multipliez $6$ par $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 18 \sqrt{x} + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.4.4

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 18 \sqrt{x} + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 36 + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.4.5

Multipliez $36$ par $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 18 \sqrt{x} + 108 \sqrt[4]{x} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.4.6

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 18 \sqrt{x} + 108 \sqrt[4]{x} + 216) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.5

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 24 (18 \sqrt{x}) - 24 (108 \sqrt[4]{x}) - 24 \cdot 216 + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.6

Simplifiez

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Étape 5.2.3.6.1

Multipliez $18$ par $- 24$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 24 (108 \sqrt[4]{x}) - 24 \cdot 216 + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.6.2

Multipliez $108$ par $- 24$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 24 \cdot 216 + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.6.3

Multipliez $- 24$ par $216$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.7

Réécrivez ${(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2}$ comme $(\sqrt[4]{x} + 6) (\sqrt[4]{x} + 6)$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 ((\sqrt[4]{x} + 6) (\sqrt[4]{x} + 6)) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.8

Développez $(\sqrt[4]{x} + 6) (\sqrt[4]{x} + 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.3.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (\sqrt[4]{x} (\sqrt[4]{x} + 6) + 6 (\sqrt[4]{x} + 6)) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (\sqrt[4]{x} \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 (\sqrt[4]{x} + 6)) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.8.3

Appliquez la propriété distributive.

Étape 5.2.3.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.3.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.9.1.1

Multipliez $\sqrt[4]{x} \sqrt[4]{x}$ .

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Étape 5.2.3.9.1.1.1

Élevez $\sqrt[4]{x}$ à la puissance $1$ .

Étape 5.2.3.9.1.1.2

Élevez $\sqrt[4]{x}$ à la puissance $1$ .

Étape 5.2.3.9.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 ({\sqrt[4]{x}}^{1 + 1} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.9.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 ({\sqrt[4]{x}}^{2} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.9.1.2

Réécrivez ${\sqrt[4]{x}}^{2}$ comme $\sqrt{x}$ .

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Étape 5.2.3.9.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{x}$ comme $x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 ({(x^{\frac{1}{4}})}^{2} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.9.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (x^{\frac{1}{4} \cdot 2} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.9.1.2.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (x^{\frac{2}{4}} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.9.1.2.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 5.2.3.9.1.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (x^{\frac{2 (1)}{4}} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.9.1.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.9.1.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.9.1.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 5.2.3.9.1.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (x^{\frac{1}{2}} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.9.1.2.5

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.9.1.3

Déplacez $6$ à gauche de $\sqrt[4]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (\sqrt{x} + 6 \cdot \sqrt[4]{x} + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.9.1.4

Multipliez $6$ par $6$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (\sqrt{x} + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \sqrt[4]{x} + 36) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.9.2

Additionnez $6 \sqrt[4]{x}$ et $6 \sqrt[4]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (\sqrt{x} + 12 \sqrt[4]{x} + 36) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.10

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 216 (12 \sqrt[4]{x}) + 216 \cdot 36 - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.11

Simplifiez

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Étape 5.2.3.11.1

Multipliez $12$ par $216$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 2592 \sqrt[4]{x} + 216 \cdot 36 - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Étape 5.2.3.11.2

Multipliez $216$ par $36$ .

Étape 5.2.3.12

Appliquez la propriété distributive.

Étape 5.2.3.13

Multipliez $- 864$ par $6$ .

Étape 5.2.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.2.4.1

Associez les termes opposés dans $x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 2592 \sqrt[4]{x} + 7776 - 864 \sqrt[4]{x} - 5184 + 1296$ .

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Étape 5.2.4.1.1

Soustrayez $24 \sqrt[4]{x^{3}}$ de $24 \sqrt[4]{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 0 + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 2592 \sqrt[4]{x} + 7776 - 864 \sqrt[4]{x} - 5184 + 1296$

Étape 5.2.4.1.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 2592 \sqrt[4]{x} + 7776 - 864 \sqrt[4]{x} - 5184 + 1296$

Étape 5.2.4.1.3

Additionnez $- 2592 \sqrt[4]{x}$ et $2592 \sqrt[4]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 432 \sqrt{x} + 0 - 5184 + 216 \sqrt{x} + 7776 - 864 \sqrt[4]{x} - 5184 + 1296$

Étape 5.2.4.1.4

Additionnez $x + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 432 \sqrt{x}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 432 \sqrt{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 7776 - 864 \sqrt[4]{x} - 5184 + 1296$

Étape 5.2.4.1.5

Soustrayez $864 \sqrt[4]{x}$ de $864 \sqrt[4]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 216 \sqrt{x} + 0 + 1296 - 432 \sqrt{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 7776 - 5184 + 1296$

Étape 5.2.4.1.6

Additionnez $x + 216 \sqrt{x}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 216 \sqrt{x} + 1296 - 432 \sqrt{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 7776 - 5184 + 1296$

Étape 5.2.4.2

Soustrayez $432 \sqrt{x}$ de $216 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 1296 - 216 \sqrt{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 7776 - 5184 + 1296$

Étape 5.2.4.3

Associez les termes opposés dans $x + 1296 - 216 \sqrt{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 7776 - 5184 + 1296$ .

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Étape 5.2.4.3.1

Additionnez $- 216 \sqrt{x}$ et $216 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 1296 + 0 - 5184 + 7776 - 5184 + 1296$

Étape 5.2.4.3.2

Additionnez $x + 1296$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 1296 - 5184 + 7776 - 5184 + 1296$

Étape 5.2.4.4

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.4.4.1

Soustrayez $5184$ de $1296$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x - 3888 + 7776 - 5184 + 1296$

Étape 5.2.4.4.2

Additionnez $- 3888$ et $7776$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 3888 - 5184 + 1296$

Étape 5.2.4.4.3

Soustrayez $5184$ de $3888$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x - 1296 + 1296$

Étape 5.2.4.5

Associez les termes opposés dans $x - 1296 + 1296$ .

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Étape 5.2.4.5.1

Additionnez $- 1296$ et $1296$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 0$

Étape 5.2.4.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296) = \sqrt[4]{x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296} + 6$

Étape 5.3.3

Supprimez les parenthèses.

$f (x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296) = \sqrt[4]{x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296} + 6$

Étape 5.3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.4.1

Faites correspondre chaque terme aux termes de la formule du théorème du binôme.

$f (x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296) = \sqrt[4]{x^{4} - 4 \cdot (6 x^{3}) + 6 \cdot (6^{2} x^{2}) - 4 \cdot (6^{3} x) + 6^{4}} + 6$

Étape 5.3.4.2

Factorisez $x^{4} - 4 \cdot 6 x^{3} + 6 \cdot 6^{2} x^{2} - 4 \cdot 6^{3} x + 6^{4}$ en utilisant le théorème du binôme.

$f (x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296) = \sqrt[4]{{(6 - x)}^{4}} + 6$

Étape 5.3.4.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296) = 6 - x + 6$

Étape 5.3.5

Additionnez $6$ et $6$ .

$f (x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296) = - x + 12$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[4]{x} + 6$ .

$f^{- 1} (x) = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296$