Pré-calcul Exemples

$(3 - 2 x + 2 x^{2}) - (4 x - 5 + 3 x^{2})$

Étape 1

Écrivez $(3 - 2 x + 2 x^{2}) - (4 x - 5 + 3 x^{2})$ comme une fonction.

$f (x) = (3 - 2 x + 2 x^{2}) - (4 x - 5 + 3 x^{2})$

Étape 2

Étudiez la formule des quotients différentiels.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 3

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 3.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = (3 - 2 (x + h) + 2 {(x + h)}^{2}) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 {(x + h)}^{2} - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Étape 3.1.2.1.2

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 ((x + h) (x + h)) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Étape 3.1.2.1.3

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 (x (x + h) + h (x + h)) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Étape 3.1.2.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 (x \cdot x + x h + h (x + h)) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Étape 3.1.2.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Étape 3.1.2.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1.2.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Étape 3.1.2.1.4.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Étape 3.1.2.1.4.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 3.1.2.1.4.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Étape 3.1.2.1.4.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Étape 3.1.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 2 (2 h x) + 2 h^{2} - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Étape 3.1.2.1.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} - (4 (x + h) - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Étape 3.1.2.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 {(x + h)}^{2})$

Étape 3.1.2.1.7.2

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 ((x + h) (x + h)))$

Étape 3.1.2.1.7.3

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.2.1.7.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 (x (x + h) + h (x + h)))$

Étape 3.1.2.1.7.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 (x \cdot x + x h + h (x + h)))$

Étape 3.1.2.1.7.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h))$

Étape 3.1.2.1.7.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1.2.1.7.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1.7.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h))$

Étape 3.1.2.1.7.4.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2}))$

Étape 3.1.2.1.7.4.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 3.1.2.1.7.4.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 (x^{2} + h x + h x + h^{2}))$

Étape 3.1.2.1.7.4.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2}))$

Étape 3.1.2.1.7.5

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 x^{2} + 3 (2 h x) + 3 h^{2})$

Étape 3.1.2.1.7.6

Multipliez $2$ par $3$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x + 4 h - 5 + 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2})$

Étape 3.1.2.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - (4 x) - (4 h) + 5 - (3 x^{2}) - (6 h x) - (3 h^{2})$

Étape 3.1.2.1.9

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1.9.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - (4 h) + 5 - (3 x^{2}) - (6 h x) - (3 h^{2})$

Étape 3.1.2.1.9.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - 4 h + 5 - (3 x^{2}) - (6 h x) - (3 h^{2})$

Étape 3.1.2.1.9.3

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - 4 h + 5 - (3 x^{2}) - (6 h x) - (3 h^{2})$

Étape 3.1.2.1.9.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - 4 h + 5 - 3 x^{2} - (6 h x) - (3 h^{2})$

Étape 3.1.2.1.9.5

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - 4 h + 5 - 3 x^{2} - 6 (h x) - (3 h^{2})$

Étape 3.1.2.1.9.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - 4 h + 5 - 3 x^{2} - 6 (h x) - 3 h^{2}$

$f (x + h) = 3 - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - 4 h + 5 - 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2}$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.1.2.2.1

Additionnez $3$ et $5$ .

$f (x + h) = - 2 x - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 4 x - 4 h + 8 - 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2}$

Étape 3.1.2.2.2

Soustrayez $4 x$ de $- 2 x$ .

$f (x + h) = - 2 h + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 6 x - 4 h + 8 - 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2}$

Étape 3.1.2.2.3

Soustrayez $4 h$ de $- 2 h$ .

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 6 x - 6 h + 8 - 3 x^{2} - 6 h x - 3 h^{2}$

Étape 3.1.2.2.4

Soustrayez $3 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f (x + h) = - x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - 6 x - 6 h + 8 - 6 h x - 3 h^{2}$

Étape 3.1.2.2.5

Soustrayez $6 h x$ de $4 h x$ .

$f (x + h) = - x^{2} - 2 h x + 2 h^{2} - 6 x - 6 h + 8 - 3 h^{2}$

Étape 3.1.2.2.6

Soustrayez $3 h^{2}$ de $2 h^{2}$ .

$f (x + h) = - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 6 x - 6 h + 8$

Étape 3.1.2.3

La réponse finale est $- x^{2} - 2 h x - h^{2} - 6 x - 6 h + 8$ .

$- x^{2} - 2 h x - h^{2} - 6 x - 6 h + 8$

Étape 3.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 3.2.1

Déplacez $- 6 x$ .

$- x^{2} - 2 h x - h^{2} - 6 h - 6 x + 8$

Étape 3.2.2

Déplacez $- x^{2}$ .

$- 2 h x - h^{2} - x^{2} - 6 h - 6 x + 8$

Étape 3.2.3

Remettez dans l’ordre $- 2 h x$ et $- h^{2}$ .

$- h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8$

Étape 3.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8$

$f (x) = - x^{2} - 6 x + 8$

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8$

$f (x) = - x^{2} - 6 x + 8$

Étape 4

Insérez les composants.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8 - (- x^{2} - 6 x + 8)}{h}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8 - - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 8}{h}$

Étape 5.1.2

Simplifiez

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- - x^{2}$ .

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Étape 5.1.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8 + 1 x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 8}{h}$

Étape 5.1.2.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8 + x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 8}{h}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8 + x^{2} + 6 x - 1 \cdot 8}{h}$

Étape 5.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} - 6 h - 6 x + 8 + x^{2} + 6 x - 8}{h}$

Étape 5.1.3

Additionnez $- x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - 6 h - 6 x + 8 + 0 + 6 x - 8}{h}$

Étape 5.1.4

Additionnez $- h^{2}$ et $0$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - 6 h - 6 x + 8 + 6 x - 8}{h}$

Étape 5.1.5

Additionnez $- 6 x$ et $6 x$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - 6 h + 0 + 8 - 8}{h}$

Étape 5.1.6

Additionnez $- h^{2}$ et $0$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - 6 h + 8 - 8}{h}$

Étape 5.1.7

Soustrayez $8$ de $8$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - 6 h + 0}{h}$

Étape 5.1.8

Additionnez $- h^{2} - 2 h x - 6 h$ et $0$ .

$\frac{- h^{2} - 2 h x - 6 h}{h}$

Étape 5.1.9

Factorisez $h$ à partir de $- h^{2} - 2 h x - 6 h$ .

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Étape 5.1.9.1

Factorisez $h$ à partir de $- h^{2}$ .

$\frac{h (- h) - 2 h x - 6 h}{h}$

Étape 5.1.9.2

Factorisez $h$ à partir de $- 2 h x$ .

$\frac{h (- h) + h (- 2 x) - 6 h}{h}$

Étape 5.1.9.3

Factorisez $h$ à partir de $- 6 h$ .

$\frac{h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot - 6}{h}$

Étape 5.1.9.4

Factorisez $h$ à partir de $h (- h) + h (- 2 x)$ .

$\frac{h (- h - 2 x) + h \cdot - 6}{h}$

Étape 5.1.9.5

Factorisez $h$ à partir de $h (- h - 2 x) + h \cdot - 6$ .

$\frac{h (- h - 2 x - 6)}{h}$

Étape 5.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{h (- h - 2 x - 6)}{h}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $- h - 2 x - 6$ par $1$ .

$- h - 2 x - 6$

Étape 5.2.2

Remettez dans l’ordre $- h$ et $- 2 x$ .

$- 2 x - h - 6$

Étape 6