Pré-calcul Exemples

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{12} = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{12} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 2 \sqrt{3}$

$b = 2$

$k = 1$

$h = 1$

Étape 4

Le centre d’une ellipse suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(1, 1)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’ellipse en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} - {(2)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} - {(2)}^{2}}$

Étape 5.3.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} - {(2)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 5.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2)}^{2}}$

Étape 5.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2)}^{2}}$

Étape 5.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(2)}^{2}}$

Étape 5.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(2)}^{2}}$

Étape 5.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{4 \cdot 3^{1} - {(2)}^{2}}$

Étape 5.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{4 \cdot 3 - {(2)}^{2}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$\sqrt{12 - {(2)}^{2}}$

Étape 5.3.3.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{12 - 1 \cdot 4}$

Étape 5.3.3.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\sqrt{12 - 4}$

Étape 5.3.3.4

Soustrayez $4$ de $12$ .

$\sqrt{8}$

Étape 5.3.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 5.3.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\sqrt{4 (2)}$

Étape 5.3.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Étape 5.3.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 \sqrt{2}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $a$ à $k$ .

$(h, k + a)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(1, 1 + 2 \sqrt{3})$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $a$ à $k$ .

$(h, k - a)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(1, 1 - (2 \sqrt{3}))$

Étape 6.5

Simplifiez

$(1, 1 - 2 \sqrt{3})$

Étape 6.6

Les ellipses ont deux sommets.

${Vertex}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{3})$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(1, 1 + 2 \sqrt{2})$

Étape 7.3

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(1, 1 - (2 \sqrt{2}))$

Étape 7.5

Simplifiez

$(1, 1 - 2 \sqrt{2})$

Étape 7.6

Les ellipses ont deux foyers.

${Focus}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{2})$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} - {(2)}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.3

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 8.3.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{1} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3 - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{12 - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{12 - 1 \cdot 4}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{\sqrt{12 - 4}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.7

Soustrayez $4$ de $12$ .

$\frac{\sqrt{8}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.8

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 8.3.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{\sqrt{4 (2)}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.3

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 8.3.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 8.3.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 8.3.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 8.3.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 8.3.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.3.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.3.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 8.3.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Étape 8.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Étape 8.3.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

Étape 9

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une ellipse.

Centre : $(1, 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{2})$

Excentricité : $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Étape 10