Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} + x - 6}{- 4 x - 8}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x^{2} + x - 6}{- 4 x - 8}$ est indéfinie.

$x = - 2$

Étape 2

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 3

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Étape 4

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 5

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Factorisez $x^{2} + x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $1$ .

$- 2, 3$

Étape 5.1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{- 4 x - 8}$

Étape 5.1.2

Simplifiez en factorisant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x - 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (- x) - 8}$

Étape 5.1.2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 8$ .

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (- x) + 4 (- 2)}$

Étape 5.1.2.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x) + 4 (- 2)$ .

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (- x - 2)}$

Étape 5.1.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (- (x) - 2)}$

Étape 5.1.2.3

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (- (x) - 1 (2))}$

Étape 5.1.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (- (x + 2))}$

Étape 5.1.2.5

Réécrivez les nombres négatifs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.5.1

Réécrivez $- (x + 2)$ comme $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (- 1 (x + 2))}$

Étape 5.1.2.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (x + 2)}$

Étape 5.2

Développez $- (x - 2) (x + 3)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Inversez $x - 2$ .

$\frac{- (x - 2) (x + 3)}{4 (x + 2)}$

Étape 5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(- x + 2) (x + 3)}{4 (x + 2)}$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x (x + 3) + 2 (x + 3)}{4 (x + 2)}$

Étape 5.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot 3 + 2 (x + 3)}{4 (x + 2)}$

Étape 5.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot 3 + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Étape 5.2.6

Déplacez $x$ .

$\frac{- x \cdot x - 1 \cdot (3 x) + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Étape 5.2.7

Factorisez le signe négatif.

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (3 x) + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Étape 5.2.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (3 x) + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Étape 5.2.9

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (3 x) + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Étape 5.2.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- x^{1 + 1} - 1 \cdot (3 x) + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Étape 5.2.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- x^{2} - 1 \cdot (3 x) + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Étape 5.2.12

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Étape 5.2.13

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Étape 5.2.14

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Étape 5.2.15

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x + 2 x + 6}{4 (x + 2)}$

Étape 5.2.16

Additionnez $- 3 x$ et $2 x$ .

$\frac{- x^{2} - x + 6}{4 (x + 2)}$

Étape 5.3

Développez $4 (x + 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x^{2} - x + 6}{4 x + 4 \cdot 2}$

Étape 5.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{- x^{2} - x + 6}{4 x + 8}$

Étape 5.4

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$4 x$

$8$

$x^{2}$

$x$

$6$

Étape 5.5

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $4 x$ .

				-	$\frac{x}{4}$
	$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$

Étape 5.6

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$

Étape 5.7

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{2} - 2 x$

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$

Étape 5.8

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x$

Étape 5.9

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x$	+	$6$

Étape 5.10

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $4 x$ .

			-	$\frac{x}{4}$	+	$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x$	+	$6$

Étape 5.11

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$\frac{x}{4}$	+	$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x$	+	$6$
					+	$x$	+	$2$

Étape 5.12

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x + 2$

			-	$\frac{x}{4}$	+	$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x$	+	$6$
					-	$x$	-	$2$

Étape 5.13

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$\frac{x}{4}$	+	$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x$	+	$6$
					-	$x$	-	$2$
							+	$4$

Étape 5.14

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$- \frac{x}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4}{4 x + 8}$

Étape 5.15

Divisez la solution en la partie polynomiale du reste.

$- \frac{x}{4} + \frac{1}{4} - \frac{4}{- 4 x - 8}$

Étape 5.16

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - 2$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 7