Pré-calcul Exemples

$f (x) = 2 \sqrt{- x^{2} + 10 x}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{- x^{2} + 10 x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$- x^{2} + 10 x \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$- x^{2} + 10 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{2} + 10 x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $- x$ à partir de $- x^{2}$ .

$- x \cdot x + 10 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $- x$ à partir de $10 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot - 10 = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $- x$ à partir de $- x (x) - x (- 10)$ .

$- x (x - 10) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 10 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x - 10$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 10$ égal à $0$ .

$x - 10 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 10$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- x (x - 10) = 0$ vraie.

$x = 0, 10$

Étape 2.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 10$

$x > 10$

Étape 2.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 2.8.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$- {(- 2)}^{2} + 10 (- 2) \geq 0$

Étape 2.8.1.3

Le côté gauche $- 24$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 10$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 10$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 2.8.2.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

$- {(5)}^{2} + 10 (5) \geq 0$

Étape 2.8.2.3

Le côté gauche $25$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 10$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 10$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 12$

Étape 2.8.3.2

Remplacez $x$ par $12$ dans l’inégalité d’origine.

$- {(12)}^{2} + 10 (12) \geq 0$

Étape 2.8.3.3

Le côté gauche $- 24$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 10$ Vrai

$x > 10$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < 10$ Vrai

$x > 10$ Faux

Étape 2.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 \leq x \leq 10$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[0, 10]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | 0 \leq x \leq 10}$

Étape 4