Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} + x - 90}{2 x - 18}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x^{2} + x - 90}{2 x - 18}$ est indéfinie.

$x = 9$

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Étape 5

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 6.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.1

Factorisez $x^{2} + x - 90$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 90$ et dont la somme est $1$ .

$- 9, 10$

Étape 6.1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 9) (x + 10)}{2 x - 18}$

Étape 6.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 18$ .

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Étape 6.1.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{(x - 9) (x + 10)}{2 (x) - 18}$

Étape 6.1.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 18$ .

$\frac{(x - 9) (x + 10)}{2 x + 2 \cdot - 9}$

Étape 6.1.2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot - 9$ .

$\frac{(x - 9) (x + 10)}{2 (x - 9)}$

Étape 6.1.2.2

Annulez le facteur commun de $x - 9$ .

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Étape 6.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 9) (x + 10)}{2 (x - 9)}$

Étape 6.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 10}{2}$

Étape 6.2

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2$

$x$

$10$

Étape 6.3

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2$ .

			$\frac{x}{2}$
	$2$		$x$	+	$10$

Étape 6.4

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

		$\frac{x}{2}$
$2$		$x$	+	$10$
	+	$x$

Étape 6.5

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x$

		$\frac{x}{2}$
$2$		$x$	+	$10$
	-	$x$

Étape 6.6

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

		$\frac{x}{2}$
$2$		$x$	+	$10$
	-	$x$
		$0$

Étape 6.7

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

		$\frac{x}{2}$
$2$		$x$	+	$10$
	-	$x$
		$0$	+	$10$

Étape 6.8

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\frac{x}{2} + \frac{10}{2}$

Étape 6.9

Divisez la solution en la partie polynomiale du reste.

$\frac{x}{2} + 5$

Étape 6.10

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = \frac{x}{2}$

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = \frac{x}{2}$

Étape 8