Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 x - 4}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 x - 4}$ est indéfinie.

$x = - \frac{4}{3}, x = \frac{1}{2}$

Étape 2

Comme $\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 x - 4}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $- \frac{4}{3}$ depuis la gauche et $\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 x - 4}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- \frac{4}{3}$ depuis la droite, $x = - \frac{4}{3}$ est une asymptote verticale.

$x = - \frac{4}{3}$

Étape 3

Comme $\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 x - 4}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $\frac{1}{2}$ depuis la gauche et $\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 x - 4}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $\frac{1}{2}$ depuis la droite, $x = \frac{1}{2}$ est une asymptote verticale.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 4

Indiquez toutes les asymptotes verticales :

$x = - \frac{4}{3}, \frac{1}{2}$

Étape 5

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 6

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 5$

$m = 2$

Étape 7

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 8

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 8.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 8.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 6 \cdot - 4 = - 24$ et dont la somme est $b = 5$ .

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Étape 8.1.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 (x) - 4}$

Étape 8.1.1.2

Réécrivez $5$ comme $- 3$ plus $8$

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + (- 3 + 8) x - 4}$

Étape 8.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} - 3 x + 8 x - 4}$

Étape 8.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 8.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{(6 x^{2} - 3 x) + 8 x - 4}$

Étape 8.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{3 x (2 x - 1) + 4 (2 x - 1)}$

Étape 8.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{(2 x - 1) (3 x + 4)}$

Étape 8.2

Développez $(2 x - 1) (3 x + 4)$ .

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Étape 8.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{2 x (3 x + 4) - 1 (3 x + 4)}$

Étape 8.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{2 x (3 x) + 2 x \cdot 4 - 1 (3 x + 4)}$

Étape 8.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{2 x (3 x) + 2 x \cdot 4 - 1 (3 x) - 1 \cdot 4}$

Étape 8.2.4

Supprimez les parenthèses.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{2 x \cdot (3 x) + 2 x \cdot 4 - 1 (3 x) - 1 \cdot 4}$

Étape 8.2.5

Déplacez $x$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{2 \cdot (3 x \cdot x) + 2 x \cdot 4 - 1 (3 x) - 1 \cdot 4}$

Étape 8.2.6

Déplacez $x$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{2 \cdot (3 x \cdot x) + 2 \cdot (4 x) - 1 (3 x) - 1 \cdot 4}$

Étape 8.2.7

Supprimez les parenthèses.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{2 \cdot (3 x \cdot x) + 2 \cdot (4 x) - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 4}$

Étape 8.2.8

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x \cdot x + 2 \cdot (4 x) - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 4}$

Étape 8.2.9

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 (x \cdot x) + 2 \cdot (4 x) - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 4}$

Étape 8.2.10

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 (x \cdot x) + 2 \cdot (4 x) - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 4}$

Étape 8.2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{1 + 1} + 2 \cdot (4 x) - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 4}$

Étape 8.2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 2 \cdot (4 x) - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 4}$

Étape 8.2.13

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 8 x - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 4}$

Étape 8.2.14

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 8 x - 3 x - 1 \cdot 4}$

Étape 8.2.15

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 8 x - 3 x - 4}$

Étape 8.2.16

Soustrayez $3 x$ de $8 x$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 x - 4}$

Étape 8.3

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

Étape 8.4

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $6 x^{5}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $6 x^{2}$ .

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

Étape 8.5

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

Étape 8.6

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $6 x^{5} + 5 x^{4} - 4 x^{3}$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

Étape 8.7

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

Étape 8.8

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Étape 8.9

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 5 x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $6 x^{2}$ .

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Étape 8.10

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

Étape 8.11

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 5 x^{4} - \frac{25 x^{3}}{6} + \frac{10 x^{2}}{3}$

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

Étape 8.12

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

Étape 8.13

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

Étape 8.14

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $\frac{49 x^{3}}{6}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $6 x^{2}$ .

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

Étape 8.15

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

Étape 8.16

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $\frac{49 x^{3}}{6} + \frac{245 x^{2}}{36} - \frac{49 x}{9}$

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

Étape 8.17

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

Étape 8.18

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$5$

Étape 8.19

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- \frac{509 x^{2}}{36}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $6 x^{2}$ .

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$\frac{509}{216}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$5$

Étape 8.20

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$\frac{509}{216}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$5$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{2545 x}{216}$

$\frac{509}{54}$

Étape 8.21

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- \frac{509 x^{2}}{36} - \frac{2545 x}{216} + \frac{509}{54}$

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$\frac{509}{216}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$5$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{2545 x}{216}$

$\frac{509}{54}$

Étape 8.22

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$\frac{509}{216}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$5$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{2545 x}{216}$

$\frac{509}{54}$

$\frac{3721 x}{216}$

$\frac{239}{54}$

Étape 8.23

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$x^{3} - \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{49 x}{36} - \frac{509}{216} + \frac{\frac{3721 x}{216} - \frac{239}{54}}{6 x^{2} + 5 x - 4}$

Étape 8.24

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = x^{3} - \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{49 x}{36} - \frac{509}{216}$

Étape 9

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - \frac{4}{3}, \frac{1}{2}$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = x^{3} - \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{49 x}{36} - \frac{509}{216}$

Étape 10