Pré-calcul Exemples

$y^{2} - 5 x + 12 y = - 16$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Isolez $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.1.1

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 5 x + 12 y = - 16 - y^{2}$

Étape 1.1.1.2

Soustrayez $12 y$ des deux côtés de l’équation.

$- 5 x = - 16 - y^{2} - 12 y$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $- 5 x = - 16 - y^{2} - 12 y$ par $- 5$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- 5 x = - 16 - y^{2} - 12 y$ par $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 16}{- 5} + \frac{- y^{2}}{- 5} + \frac{- 12 y}{- 5}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 5$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 16}{- 5} + \frac{- y^{2}}{- 5} + \frac{- 12 y}{- 5}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 16}{- 5} + \frac{- y^{2}}{- 5} + \frac{- 12 y}{- 5}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{16}{5} + \frac{- y^{2}}{- 5} + \frac{- 12 y}{- 5}$

Étape 1.1.2.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{16}{5} + \frac{y^{2}}{5} + \frac{- 12 y}{- 5}$

Étape 1.1.2.3.1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{16}{5} + \frac{y^{2}}{5} + \frac{12 y}{5}$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $\frac{16}{5} + \frac{y^{2}}{5} + \frac{12 y}{5}$ .

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Étape 1.2.1

Déplacez $\frac{16}{5}$ .

$\frac{y^{2}}{5} + \frac{12 y}{5} + \frac{16}{5}$

Étape 1.2.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = \frac{1}{5}$

$b = \frac{12}{5}$

$c = \frac{16}{5}$

Étape 1.2.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{12}{5}}{2 (\frac{1}{5})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{12}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{5})}$

Étape 1.2.4.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$d = \frac{2 (6)}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{5})}$

Étape 1.2.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 6}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{5})}$

Étape 1.2.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{\frac{1}{5}}$

Étape 1.2.4.2.3

Multipliez $\frac{6}{5}$ par $\frac{1}{\frac{1}{5}}$ .

$d = \frac{6}{5 (\frac{1}{5})}$

Étape 1.2.4.2.4

Associez $5$ et $\frac{1}{5}$ .

$d = \frac{6}{\frac{5}{5}}$

Étape 1.2.4.2.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.2.4.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{6}{\frac{5}{5}}$

Étape 1.2.4.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{6}{1}$

Étape 1.2.4.2.6

Divisez $6$ par $1$ .

$d = 6$

Étape 1.2.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{16}{5} - \frac{{(\frac{12}{5})}^{2}}{4 (\frac{1}{5})}$

Étape 1.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.5.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{12}{5}$ .

$e = \frac{16}{5} - \frac{\frac{12^{2}}{5^{2}}}{4 (\frac{1}{5})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.2

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{16}{5} - \frac{\frac{144}{5^{2}}}{4 (\frac{1}{5})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$e = \frac{16}{5} - \frac{\frac{144}{25}}{4 (\frac{1}{5})}$

Étape 1.2.5.2.1.2

Associez $4$ et $\frac{1}{5}$ .

$e = \frac{16}{5} - \frac{\frac{144}{25}}{\frac{4}{5}}$

Étape 1.2.5.2.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = \frac{16}{5} - (\frac{144}{25} \cdot \frac{5}{4})$

Étape 1.2.5.2.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.5.2.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $144$ .

$e = \frac{16}{5} - (\frac{4 (36)}{25} \cdot \frac{5}{4})$

Étape 1.2.5.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{16}{5} - (\frac{4 \cdot 36}{25} \cdot \frac{5}{4})$

Étape 1.2.5.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{16}{5} - (\frac{36}{25} \cdot 5)$

Étape 1.2.5.2.1.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.2.5.2.1.5.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$e = \frac{16}{5} - (\frac{36}{5 (5)} \cdot 5)$

Étape 1.2.5.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$e = \frac{16}{5} - (\frac{36}{5 \cdot 5} \cdot 5)$

Étape 1.2.5.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$e = \frac{16}{5} - \frac{36}{5}$

Étape 1.2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{16 - 36}{5}$

Étape 1.2.5.2.3

Soustrayez $36$ de $16$ .

$e = \frac{- 20}{5}$

Étape 1.2.5.2.4

Divisez $- 20$ par $5$ .

$e = - 4$

Étape 1.2.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $\frac{1}{5} {(y + 6)}^{2} - 4$ .

$\frac{1}{5} {(y + 6)}^{2} - 4$

Étape 1.3

Définissez $x$ égal au nouveau côté droit.

$x = \frac{1}{5} \cdot {(y + 6)}^{2} - 4$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = \frac{1}{5}$

$h = - 4$

$k = - 6$

Étape 3

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 4, - 6)$

Étape 4