Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x^{3} - x^{2} + x - 1}{x^{2} + 3 x - 2}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x^{3} - x^{2} + x - 1}{x^{2} + 3 x - 2}$ est indéfinie.

$x = - \frac{3 + \sqrt{17}}{2}, x = - \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$

Étape 2

Comme $\frac{x^{3} - x^{2} + x - 1}{x^{2} + 3 x - 2}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $- \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$ depuis la gauche et $\frac{x^{3} - x^{2} + x - 1}{x^{2} + 3 x - 2}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$ depuis la droite, $x = - \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$ est une asymptote verticale.

$x = - \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$

Étape 3

Comme $\frac{x^{3} - x^{2} + x - 1}{x^{2} + 3 x - 2}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$ depuis la gauche et $\frac{x^{3} - x^{2} + x - 1}{x^{2} + 3 x - 2}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $- \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$ depuis la droite, $x = - \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$ est une asymptote verticale.

$x = - \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$

Étape 4

Indiquez toutes les asymptotes verticales :

$x = - \frac{3 + \sqrt{17}}{2}, - \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$

Étape 5

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 6

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Étape 7

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 8

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 8.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(x^{3} - x^{2}) + x - 1}{x^{2} + 3 x - 2}$

Étape 8.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x^{2} (x - 1) + 1 (x - 1)}{x^{2} + 3 x - 2}$

Étape 8.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 3 x - 2}$

Étape 8.2

Développez $(x - 1) (x^{2} + 1)$ .

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Étape 8.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x^{2} + 1) - 1 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 3 x - 2}$

Étape 8.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 1 - 1 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 3 x - 2}$

Étape 8.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2} + 3 x - 2}$

Étape 8.2.4

Remettez dans l’ordre $x$ et $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + 1 x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2} + 3 x - 2}$

Étape 8.2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + 1 x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2} + 3 x - 2}$

Étape 8.2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{1 + 2} + 1 x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2} + 3 x - 2}$

Étape 8.2.7

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{x^{3} + 1 x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2} + 3 x - 2}$

Étape 8.2.8

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{3} + x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2} + 3 x - 2}$

Étape 8.2.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x^{3} + x - 1 x^{2} - 1}{x^{2} + 3 x - 2}$

Étape 8.2.10

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{3} - 1 x^{2} + x - 1}{x^{2} + 3 x - 2}$

Étape 8.3

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$1 x^{2}$

$x$

$1$

Étape 8.4

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$1 x^{2}$

$x$

$1$

Étape 8.5

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$1 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

Étape 8.6

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + 3 x^{2} - 2 x$

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$1 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

Étape 8.7

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$1 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$4 x^{2}$

$3 x$

Étape 8.8

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

						$x$
$x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$1 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$

Étape 8.9

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

						$x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$1 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$

Étape 8.10

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

						$x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$1 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
							-	$4 x^{2}$	-	$12 x$	+	$8$

Étape 8.11

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 x^{2} - 12 x + 8$

						$x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$1 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
							+	$4 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$

Étape 8.12

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

						$x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$1 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
							+	$4 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
									+	$15 x$	-	$9$

Étape 8.13

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$x - 4 + \frac{15 x - 9}{x^{2} + 3 x - 2}$

Étape 8.14

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = x - 4$

Étape 9

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - \frac{3 + \sqrt{17}}{2}, - \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = x - 4$

Étape 10