Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} - 4 x - 5}{4 x + 4}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x^{2} - 4 x - 5}{4 x + 4}$ est indéfinie.

$x = - 1$

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Étape 5

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 6.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.1

Factorisez $x^{2} - 4 x - 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 5$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 5, 1$

Étape 6.1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{4 x + 4}$

Étape 6.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x + 4$ .

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Étape 6.1.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{4 (x) + 4}$

Étape 6.1.2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{4 (x) + 4 (1)}$

Étape 6.1.2.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (x) + 4 (1)$ .

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{4 (x + 1)}$

Étape 6.1.2.2

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 6.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{4 (x + 1)}$

Étape 6.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 5}{4}$

Étape 6.2

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$4$

$x$

$5$

Étape 6.3

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $4$ .

			$\frac{x}{4}$
	$4$		$x$	-	$5$

Étape 6.4

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

		$\frac{x}{4}$
$4$		$x$	-	$5$
	+	$x$

Étape 6.5

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x$

		$\frac{x}{4}$
$4$		$x$	-	$5$
	-	$x$

Étape 6.6

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

		$\frac{x}{4}$
$4$		$x$	-	$5$
	-	$x$
		$0$

Étape 6.7

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

		$\frac{x}{4}$
$4$		$x$	-	$5$
	-	$x$
		$0$	-	$5$

Étape 6.8

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\frac{x}{4} - \frac{5}{4}$

Étape 6.9

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = \frac{x}{4}$

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = \frac{x}{4}$

Étape 8