Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} + x}{- 5 x - 5}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x^{2} + x}{- 5 x - 5}$ est indéfinie.

$x = - 1$

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Étape 5

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 6.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + x$ .

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Étape 6.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + x}{- 5 x - 5}$

Étape 6.1.1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \cdot x + x^{1}}{- 5 x - 5}$

Étape 6.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1}{- 5 x - 5}$

Étape 6.1.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\frac{x (x + 1)}{- 5 x - 5}$

Étape 6.1.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5 x - 5$ .

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5 x$ .

$\frac{x (x + 1)}{5 (- x) - 5}$

Étape 6.1.2.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$\frac{x (x + 1)}{5 (- x) + 5 (- 1)}$

Étape 6.1.2.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (- x) + 5 (- 1)$ .

$\frac{x (x + 1)}{5 (- x - 1)}$

Étape 6.1.3

Annulez le facteur commun à $x + 1$ et $- x - 1$ .

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Étape 6.1.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{x (- 1 (- x) + 1)}{5 (- x - 1)}$

Étape 6.1.3.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{x (- 1 (- x) - 1 (- 1))}{5 (- x - 1)}$

Étape 6.1.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{x (- 1 (- x - 1))}{5 (- x - 1)}$

Étape 6.1.3.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (- 1 (- x - 1))}{5 (- x - 1)}$

Étape 6.1.3.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \cdot (- 1)}{5}$

Étape 6.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.4.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{5}$

Étape 6.1.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x}{5}$

Étape 6.2

Inversez $x$ .

$\frac{- x}{5}$

Étape 6.3

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$5$

$x$

$0$

Étape 6.4

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $5$ .

		-	$\frac{x}{5}$
	$5$	-	$x$	+	$0$

Étape 6.5

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

	-	$\frac{x}{5}$
$5$	-	$x$	+	$0$
	-	$x$

Étape 6.6

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x$

	-	$\frac{x}{5}$
$5$	-	$x$	+	$0$
	+	$x$

Étape 6.7

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

	-	$\frac{x}{5}$
$5$	-	$x$	+	$0$
	+	$x$
		$0$

Étape 6.8

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

	-	$\frac{x}{5}$
$5$	-	$x$	+	$0$
	+	$x$
		$0$	+	$0$

Étape 6.9

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- \frac{x}{5}$

Étape 6.10

Comme il n’y a pas de partie polynomiale issue de la portion division polynomiale, il n’y a aucune asymptote oblique.

Aucune asymptote oblique

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Aucune asymptote horizontale

Aucune asymptote oblique

Étape 8