Pré-calcul Exemples

$f (x) = \sqrt{\frac{1 - x}{2 x - 3}}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{\frac{1 - x}{2 x - 3}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{1 - x}{2 x - 3} \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$1 - x = 0$

$2 x - 3 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 1$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.3.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1$

Étape 2.4

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 3$

Étape 2.5

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.5.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 2.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Étape 2.6

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 1$

$x = \frac{3}{2}$

Étape 2.7

Consolidez les solutions.

$x = 1, \frac{3}{2}$

Étape 2.8

Déterminez le domaine de $\frac{1 - x}{2 x - 3}$ .

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Étape 2.8.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1 - x}{2 x - 3}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 x - 3 = 0$

Étape 2.8.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.8.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 3$

Étape 2.8.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.8.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 2.8.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.8.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.8.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 2.8.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Étape 2.8.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \infty)$

Étape 2.9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 1$

$1 < x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

Étape 2.10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.10.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1 - (0)}{2 (0) - 3} \geq 0$

Étape 2.10.1.3

Le côté gauche $- 0.\overline{3}$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $1 < x < \frac{3}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 < x < \frac{3}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1.25$

Étape 2.10.2.2

Remplacez $x$ par $1.25$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1 - (1.25)}{2 (1.25) - 3} \geq 0$

Étape 2.10.2.3

Le côté gauche $0.5$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{3}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{3}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 2.10.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1 - (4)}{2 (4) - 3} \geq 0$

Étape 2.10.3.3

Le côté gauche $- 0.6$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 1$ Faux

$1 < x < \frac{3}{2}$ Vrai

$x > \frac{3}{2}$ Faux

$x < 1$ Faux

$1 < x < \frac{3}{2}$ Vrai

$x > \frac{3}{2}$ Faux

Étape 2.11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$1 \leq x < \frac{3}{2}$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{1 - x}{2 x - 3}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 x - 3 = 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 3$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[1, \frac{3}{2})$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | 1 \leq x < \frac{3}{2}}$

Étape 6