Pré-algèbre Exemples

$\frac{3 x^{2} + 18 x y + 27 y^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \div \frac{8 x + 24 y}{x + y}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{3 x^{2} + 18 x y + 27 y^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 18 x y + 27 y^{2}$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 18 x y + 27 y^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Étape 2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $18 x y$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (6 x y) + 27 y^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Étape 2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $27 y^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (6 x y) + 3 (9 y^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Étape 2.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2}) + 3 (6 x y)$ .

$\frac{3 (x^{2} + 6 x y) + 3 (9 y^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Étape 2.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} + 6 x y) + 3 (9 y^{2})$ .

$\frac{3 (x^{2} + 6 x y + 9 y^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Étape 2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $9 y^{2}$ comme ${(3 y)}^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} + 6 x y + {(3 y)}^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Étape 2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 x y = 2 \cdot x \cdot (3 y)$

Étape 2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{3 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot (3 y) + {(3 y)}^{2})}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Étape 2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 3 y$ .

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 1 \cdot 5 = 5$ et dont la somme est $b = 6$ .

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Étape 3.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 5 y^{2} + 6 x y} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Étape 3.1.2

Remettez dans l’ordre $5 y^{2}$ et $6 x y$ .

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 6 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Étape 3.1.3

Factorisez $6$ à partir de $6 x y$ .

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 6 (x y) + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Étape 3.1.4

Réécrivez $6$ comme $1$ plus $5$

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + (1 + 5) (x y) + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Étape 3.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + 1 (x y) + 5 (x y) + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Étape 3.1.6

Multipliez $x y$ par $1$ .

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + x y + 5 (x y) + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Étape 3.1.7

Déplacez les parenthèses.

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x^{2} + x y + 5 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{(x^{2} + x y) + 5 x y + 5 y^{2}} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x (x + y) + 5 y (x + y)} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + y$ .

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + y) (x + 5 y)} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $x + y$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + y) (x + 5 y)} \cdot \frac{x + y}{8 x + 24 y}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x + 5 y} \cdot \frac{1}{8 x + 24 y}$

Étape 5

Multipliez $\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{x + 5 y}$ par $\frac{1}{8 x + 24 y}$ .

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + 5 y) (8 x + 24 y)}$

Étape 6

Factorisez $8$ à partir de $8 x + 24 y$ .

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Étape 6.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + 5 y) (8 (x) + 24 y)}$

Étape 6.2

Factorisez $8$ à partir de $24 y$ .

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + 5 y) (8 (x) + 8 (3 y))}$

Étape 6.3

Factorisez $8$ à partir de $8 (x) + 8 (3 y)$ .

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + 5 y) (8 (x + 3 y))}$

$\frac{3 {(x + 3 y)}^{2}}{(x + 5 y) \cdot 8 (x + 3 y)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun à ${(x + 3 y)}^{2}$ et $x + 3 y$ .

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Étape 7.1

Factorisez $x + 3 y$ à partir de $3 {(x + 3 y)}^{2}$ .

$\frac{(x + 3 y) (3 (x + 3 y))}{(x + 5 y) \cdot 8 (x + 3 y)}$

Étape 7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.1

Factorisez $x + 3 y$ à partir de $(x + 5 y) \cdot 8 (x + 3 y)$ .

$\frac{(x + 3 y) (3 (x + 3 y))}{(x + 3 y) ((x + 5 y) \cdot 8)}$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 3 y) (3 (x + 3 y))}{(x + 3 y) ((x + 5 y) \cdot 8)}$

Étape 7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (x + 3 y)}{(x + 5 y) \cdot 8}$

Étape 8

Déplacez $8$ à gauche de $x + 5 y$ .

$\frac{3 (x + 3 y)}{8 (x + 5 y)}$

Étape 9

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x + 3 (3 y)}{8 (x + 5 y)}$

Étape 10

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{3 x + 9 y}{8 (x + 5 y)}$

Étape 11

Divisez la fraction $\frac{3 x + 9 y}{8 (x + 5 y)}$ en deux fractions.

$\frac{3 x}{8 (x + 5 y)} + \frac{9 y}{8 (x + 5 y)}$