Pré-algèbre Exemples

$\frac{3 t - 22 t + 7}{3 t^{2} + 8 t - 3} \div \frac{2 t^{2} - 10 t + 1}{7 t^{2} + 20 t - 3}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{3 t - 22 t + 7}{3 t^{2} + 8 t - 3} \cdot \frac{7 t^{2} + 20 t - 3}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Étape 2

Soustrayez $22 t$ de $3 t$ .

$\frac{- 19 t + 7}{3 t^{2} + 8 t - 3} \cdot \frac{7 t^{2} + 20 t - 3}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ et dont la somme est $b = 8$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $8$ à partir de $8 t$ .

$\frac{- 19 t + 7}{3 t^{2} + 8 (t) - 3} \cdot \frac{7 t^{2} + 20 t - 3}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $8$ comme $- 1$ plus $9$

$\frac{- 19 t + 7}{3 t^{2} + (- 1 + 9) t - 3} \cdot \frac{7 t^{2} + 20 t - 3}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 19 t + 7}{3 t^{2} - 1 t + 9 t - 3} \cdot \frac{7 t^{2} + 20 t - 3}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{- 19 t + 7}{(3 t^{2} - 1 t) + 9 t - 3} \cdot \frac{7 t^{2} + 20 t - 3}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{- 19 t + 7}{t (3 t - 1) + 3 (3 t - 1)} \cdot \frac{7 t^{2} + 20 t - 3}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 t - 1$ .

$\frac{- 19 t + 7}{(3 t - 1) (t + 3)} \cdot \frac{7 t^{2} + 20 t - 3}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Étape 4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 7 \cdot - 3 = - 21$ et dont la somme est $b = 20$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $20$ à partir de $20 t$ .

$\frac{- 19 t + 7}{(3 t - 1) (t + 3)} \cdot \frac{7 t^{2} + 20 (t) - 3}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Étape 4.1.2

Réécrivez $20$ comme $- 1$ plus $21$

$\frac{- 19 t + 7}{(3 t - 1) (t + 3)} \cdot \frac{7 t^{2} + (- 1 + 21) t - 3}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 19 t + 7}{(3 t - 1) (t + 3)} \cdot \frac{7 t^{2} - 1 t + 21 t - 3}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{- 19 t + 7}{(3 t - 1) (t + 3)} \cdot \frac{(7 t^{2} - 1 t) + 21 t - 3}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{- 19 t + 7}{(3 t - 1) (t + 3)} \cdot \frac{t (7 t - 1) + 3 (7 t - 1)}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Étape 4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $7 t - 1$ .

$\frac{- 19 t + 7}{(3 t - 1) (t + 3)} \cdot \frac{(7 t - 1) (t + 3)}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $t + 3$ .

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Étape 5.1

Factorisez $t + 3$ à partir de $(3 t - 1) (t + 3)$ .

$\frac{- 19 t + 7}{(t + 3) (3 t - 1)} \cdot \frac{(7 t - 1) (t + 3)}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Étape 5.2

Factorisez $t + 3$ à partir de $(7 t - 1) (t + 3)$ .

$\frac{- 19 t + 7}{(t + 3) (3 t - 1)} \cdot \frac{(t + 3) (7 t - 1)}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 19 t + 7}{(t + 3) (3 t - 1)} \cdot \frac{(t + 3) (7 t - 1)}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Étape 5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 19 t + 7}{3 t - 1} \cdot \frac{7 t - 1}{2 t^{2} - 10 t + 1}$

Étape 6

Multipliez $\frac{- 19 t + 7}{3 t - 1}$ par $\frac{7 t - 1}{2 t^{2} - 10 t + 1}$ .

$\frac{(- 19 t + 7) (7 t - 1)}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Étape 7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 19 t$ .

$\frac{(- (19 t) + 7) (7 t - 1)}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Étape 8

Réécrivez $7$ comme $- 1 (- 7)$ .

$\frac{(- (19 t) - 1 (- 7)) (7 t - 1)}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Étape 9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (19 t) - 1 (- 7)$ .

$\frac{- (19 t - 7) (7 t - 1)}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Étape 10

Réécrivez $- (19 t - 7)$ comme $- 1 (19 t - 7)$ .

$\frac{- 1 (19 t - 7) (7 t - 1)}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Étape 11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(19 t - 7) (7 t - 1)}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Étape 12

Développez $(19 t - 7) (7 t - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{19 t (7 t - 1) - 7 (7 t - 1)}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Étape 12.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{19 t (7 t) + 19 t \cdot - 1 - 7 (7 t - 1)}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Étape 12.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{19 t (7 t) + 19 t \cdot - 1 - 7 (7 t) - 7 \cdot - 1}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Étape 13

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{19 \cdot 7 t \cdot t + 19 t \cdot - 1 - 7 (7 t) - 7 \cdot - 1}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Étape 13.1.2

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.1.2.1

Déplacez $t$ .

$- \frac{19 \cdot 7 (t \cdot t) + 19 t \cdot - 1 - 7 (7 t) - 7 \cdot - 1}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Étape 13.1.2.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$- \frac{19 \cdot 7 t^{2} + 19 t \cdot - 1 - 7 (7 t) - 7 \cdot - 1}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Étape 13.1.3

Multipliez $19$ par $7$ .

$- \frac{133 t^{2} + 19 t \cdot - 1 - 7 (7 t) - 7 \cdot - 1}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Étape 13.1.4

Multipliez $- 1$ par $19$ .

$- \frac{133 t^{2} - 19 t - 7 (7 t) - 7 \cdot - 1}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Étape 13.1.5

Multipliez $7$ par $- 7$ .

$- \frac{133 t^{2} - 19 t - 49 t - 7 \cdot - 1}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Étape 13.1.6

Multipliez $- 7$ par $- 1$ .

$- \frac{133 t^{2} - 19 t - 49 t + 7}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Étape 13.2

Soustrayez $49 t$ de $- 19 t$ .

$- \frac{133 t^{2} - 68 t + 7}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$

Étape 14

Divisez la fraction $\frac{133 t^{2} - 68 t + 7}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$ en deux fractions.

$- (\frac{133 t^{2} - 68 t}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)} + \frac{7}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)})$

Étape 15

Divisez la fraction $\frac{133 t^{2} - 68 t}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)}$ en deux fractions.

$- (\frac{133 t^{2}}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)} + \frac{- 68 t}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)} + \frac{7}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)})$

Étape 16

Placez le signe moins devant la fraction.

$- (\frac{133 t^{2}}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)} - \frac{68 t}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)} + \frac{7}{(3 t - 1) (2 t^{2} - 10 t + 1)})$