Pré-algèbre Exemples

$\frac{2 + \sqrt{5}}{6 + 2 \sqrt{5}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{5}}{6 + 2 \sqrt{5}}$ par $\frac{6 - 2 \sqrt{5}}{6 - 2 \sqrt{5}}$ .

$\frac{2 + \sqrt{5}}{6 + 2 \sqrt{5}} \cdot \frac{6 - 2 \sqrt{5}}{6 - 2 \sqrt{5}}$

Étape 2

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{5}}{6 + 2 \sqrt{5}}$ par $\frac{6 - 2 \sqrt{5}}{6 - 2 \sqrt{5}}$ .

$\frac{(2 + \sqrt{5}) (6 - 2 \sqrt{5})}{(6 + 2 \sqrt{5}) (6 - 2 \sqrt{5})}$

Étape 3

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(2 + \sqrt{5}) (6 - 2 \sqrt{5})}{36 - 12 \sqrt{5} + 12 \sqrt{5} - 4 {\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

$\frac{(2 + \sqrt{5}) (6 - 2 \sqrt{5})}{16}$

Étape 5

Annulez le facteur commun à $6 - 2 \sqrt{5}$ et $16$ .

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Étape 5.1

Factorisez $2$ à partir de $(2 + \sqrt{5}) (6 - 2 \sqrt{5})$ .

$\frac{2 ((2 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5}))}{16}$

Étape 5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{2 ((2 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5}))}{2 (8)}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 ((2 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5}))}{2 \cdot 8}$

Étape 5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(2 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})}{8}$

Étape 6

Développez $(2 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (3 - \sqrt{5}) + \sqrt{5} (3 - \sqrt{5})}{8}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} (3 - \sqrt{5})}{8}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 3 + 2 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 3 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{8}$

Étape 7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 + 2 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 3 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{8}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 3 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{8}$

Étape 7.1.3

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{5}$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{8}$

Étape 7.1.4

Multipliez $\sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

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Étape 7.1.4.1

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}{8}$

Étape 7.1.4.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}{8}$

Étape 7.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{8}$

Étape 7.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}{8}$

Étape 7.1.5

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 7.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8}$

Étape 7.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8}$

Étape 7.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{8}$

Étape 7.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{8}$

Étape 7.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 5^{1}}{8}$

Étape 7.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 1 \cdot 5}{8}$

Étape 7.1.6

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} - 5}{8}$

Étape 7.2

Soustrayez $5$ de $6$ .

$\frac{1 - 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5}}{8}$

Étape 7.3

Additionnez $- 2 \sqrt{5}$ et $3 \sqrt{5}$ .

$\frac{1 + \sqrt{5}}{8}$

Étape 8

Divisez la fraction $\frac{1 + \sqrt{5}}{8}$ en deux fractions.

$\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{5}}{8}$

Forme décimale :

$0.40450849 \dots$