Pré-algèbre Exemples

$\frac{2 y^{2} - 7 y + 3}{2 y^{2} + 3 y - 2} \div \frac{6 y^{2} - 5 y + 1}{3 y^{2} + 5 y - 2}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{2 y^{2} - 7 y + 3}{2 y^{2} + 3 y - 2} \cdot \frac{3 y^{2} + 5 y - 2}{6 y^{2} - 5 y + 1}$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ et dont la somme est $b = - 7$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $- 7$ à partir de $- 7 y$ .

$\frac{2 y^{2} - 7 (y) + 3}{2 y^{2} + 3 y - 2} \cdot \frac{3 y^{2} + 5 y - 2}{6 y^{2} - 5 y + 1}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $- 7$ comme $- 1$ plus $- 6$

$\frac{2 y^{2} + (- 1 - 6) y + 3}{2 y^{2} + 3 y - 2} \cdot \frac{3 y^{2} + 5 y - 2}{6 y^{2} - 5 y + 1}$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 y^{2} - 1 y - 6 y + 3}{2 y^{2} + 3 y - 2} \cdot \frac{3 y^{2} + 5 y - 2}{6 y^{2} - 5 y + 1}$

Étape 2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 y^{2} - 1 y) - 6 y + 3}{2 y^{2} + 3 y - 2} \cdot \frac{3 y^{2} + 5 y - 2}{6 y^{2} - 5 y + 1}$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{y (2 y - 1) - 3 (2 y - 1)}{2 y^{2} + 3 y - 2} \cdot \frac{3 y^{2} + 5 y - 2}{6 y^{2} - 5 y + 1}$

Étape 2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 y - 1$ .

$\frac{(2 y - 1) (y - 3)}{2 y^{2} + 3 y - 2} \cdot \frac{3 y^{2} + 5 y - 2}{6 y^{2} - 5 y + 1}$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ et dont la somme est $b = 3$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 y$ .

$\frac{(2 y - 1) (y - 3)}{2 y^{2} + 3 (y) - 2} \cdot \frac{3 y^{2} + 5 y - 2}{6 y^{2} - 5 y + 1}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $3$ comme $- 1$ plus $4$

$\frac{(2 y - 1) (y - 3)}{2 y^{2} + (- 1 + 4) y - 2} \cdot \frac{3 y^{2} + 5 y - 2}{6 y^{2} - 5 y + 1}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 y - 1) (y - 3)}{2 y^{2} - 1 y + 4 y - 2} \cdot \frac{3 y^{2} + 5 y - 2}{6 y^{2} - 5 y + 1}$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 y - 1) (y - 3)}{(2 y^{2} - 1 y) + 4 y - 2} \cdot \frac{3 y^{2} + 5 y - 2}{6 y^{2} - 5 y + 1}$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(2 y - 1) (y - 3)}{y (2 y - 1) + 2 (2 y - 1)} \cdot \frac{3 y^{2} + 5 y - 2}{6 y^{2} - 5 y + 1}$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 y - 1$ .

$\frac{(2 y - 1) (y - 3)}{(2 y - 1) (y + 2)} \cdot \frac{3 y^{2} + 5 y - 2}{6 y^{2} - 5 y + 1}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $2 y - 1$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 y - 1) (y - 3)}{(2 y - 1) (y + 2)} \cdot \frac{3 y^{2} + 5 y - 2}{6 y^{2} - 5 y + 1}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y - 3}{y + 2} \cdot \frac{3 y^{2} + 5 y - 2}{6 y^{2} - 5 y + 1}$

Étape 5

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ et dont la somme est $b = 5$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 y$ .

$\frac{y - 3}{y + 2} \cdot \frac{3 y^{2} + 5 (y) - 2}{6 y^{2} - 5 y + 1}$

Étape 5.1.2

Réécrivez $5$ comme $- 1$ plus $6$

$\frac{y - 3}{y + 2} \cdot \frac{3 y^{2} + (- 1 + 6) y - 2}{6 y^{2} - 5 y + 1}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y - 3}{y + 2} \cdot \frac{3 y^{2} - 1 y + 6 y - 2}{6 y^{2} - 5 y + 1}$

Étape 5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{y - 3}{y + 2} \cdot \frac{(3 y^{2} - 1 y) + 6 y - 2}{6 y^{2} - 5 y + 1}$

Étape 5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{y - 3}{y + 2} \cdot \frac{y (3 y - 1) + 2 (3 y - 1)}{6 y^{2} - 5 y + 1}$

Étape 5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 y - 1$ .

$\frac{y - 3}{y + 2} \cdot \frac{(3 y - 1) (y + 2)}{6 y^{2} - 5 y + 1}$

Étape 6

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 6 \cdot 1 = 6$ et dont la somme est $b = - 5$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 y$ .

$\frac{y - 3}{y + 2} \cdot \frac{(3 y - 1) (y + 2)}{6 y^{2} - 5 (y) + 1}$

Étape 6.1.2

Réécrivez $- 5$ comme $- 2$ plus $- 3$

$\frac{y - 3}{y + 2} \cdot \frac{(3 y - 1) (y + 2)}{6 y^{2} + (- 2 - 3) y + 1}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y - 3}{y + 2} \cdot \frac{(3 y - 1) (y + 2)}{6 y^{2} - 2 y - 3 y + 1}$

Étape 6.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{y - 3}{y + 2} \cdot \frac{(3 y - 1) (y + 2)}{(6 y^{2} - 2 y) - 3 y + 1}$

Étape 6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{y - 3}{y + 2} \cdot \frac{(3 y - 1) (y + 2)}{2 y (3 y - 1) - (3 y - 1)}$

Étape 6.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 y - 1$ .

$\frac{y - 3}{y + 2} \cdot \frac{(3 y - 1) (y + 2)}{(3 y - 1) (2 y - 1)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $y + 2$ .

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Étape 7.1

Factorisez $y + 2$ à partir de $(3 y - 1) (y + 2)$ .

$\frac{y - 3}{y + 2} \cdot \frac{(y + 2) (3 y - 1)}{(3 y - 1) (2 y - 1)}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y - 3}{y + 2} \cdot \frac{(y + 2) (3 y - 1)}{(3 y - 1) (2 y - 1)}$

Étape 7.3

Réécrivez l’expression.

$(y - 3) \frac{3 y - 1}{(3 y - 1) (2 y - 1)}$

Étape 8

Annulez le facteur commun de $3 y - 1$ .

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun.

$(y - 3) \frac{3 y - 1}{(3 y - 1) (2 y - 1)}$

Étape 8.2

Réécrivez l’expression.

$(y - 3) \frac{1}{2 y - 1}$

Étape 9

Multipliez $y - 3$ par $\frac{1}{2 y - 1}$ .

$\frac{y - 3}{2 y - 1}$