Pré-algèbre Exemples

$\frac{2 x^{2} + 3 x + 1}{x^{2} + 2 x - 15} \div \frac{x^{2} + 6 x + 5}{2 x^{2} - 7 x + 3}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{2 x^{2} + 3 x + 1}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ et dont la somme est $b = 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 (x) + 1}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $3$ comme $1$ plus $2$

$\frac{2 x^{2} + (1 + 2) x + 1}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} + 1 x + 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Étape 2.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Étape 2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 x^{2} + x) + 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Étape 2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Étape 3

Factorisez $x^{2} + 2 x - 15$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 15$ et dont la somme est $2$ .

$- 3, 5$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Étape 4

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ et dont la somme est $b = - 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Factorisez $- 7$ à partir de $- 7 x$ .

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 (x) + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Étape 4.1.2

Réécrivez $- 7$ comme $- 1$ plus $- 6$

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{2 x^{2} + (- 1 - 6) x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{2 x^{2} - 1 x - 6 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(2 x^{2} - 1 x) - 6 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)}{x^{2} + 6 x + 5}$

Étape 4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{x^{2} + 6 x + 5}$

Étape 5

Factorisez $x^{2} + 6 x + 5$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $5$ et dont la somme est $6$ .

$1, 5$

Étape 5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{(x + 1) (x + 5)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Factorisez $x + 1$ à partir de $(2 x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{(x + 1) (x + 5)}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) (2 x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{(x + 1) (x + 5)}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x + 1}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{x + 5}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Factorisez $x - 3$ à partir de $(2 x - 1) (x - 3)$ .

$\frac{2 x + 1}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(x - 3) (2 x - 1)}{x + 5}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x + 1}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(x - 3) (2 x - 1)}{x + 5}$

Étape 7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x + 1}{x + 5} \cdot \frac{2 x - 1}{x + 5}$

Étape 8

Multipliez $\frac{2 x + 1}{x + 5}$ par $\frac{2 x - 1}{x + 5}$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{(x + 5) (x + 5)}$

Étape 9

Élevez $x + 5$ à la puissance $1$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{{(x + 5)}^{1} (x + 5)}$

Étape 10

Élevez $x + 5$ à la puissance $1$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{{(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{1}}$

Étape 11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{{(x + 5)}^{1 + 1}}$

Étape 12

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 13

Développez $(2 x + 1) (2 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 13.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1)}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 13.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 14

Associez les termes opposés dans $2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $2 x \cdot - 1$ et $1 (2 x)$ .

$\frac{2 x (2 x) - 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 14.2

Additionnez $- 1 \cdot 2 x$ et $1 \cdot 2 x$ .

$\frac{2 x (2 x) + 0 + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 14.3

Additionnez $2 x (2 x)$ et $0$ .

$\frac{2 x (2 x) + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 15

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 15.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 (x \cdot x) + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 15.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 x^{2} + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 15.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 15.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{4 x^{2} - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 16

Divisez la fraction $\frac{4 x^{2} - 1}{{(x + 5)}^{2}}$ en deux fractions.

$\frac{4 x^{2}}{{(x + 5)}^{2}} + \frac{- 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 17

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4 x^{2}}{{(x + 5)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 5)}^{2}}$