Pré-algèbre Exemples

$\frac{1 + a z^{- 1} + c z^{- 2}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1 + a \frac{1}{z} + c z^{- 2}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Étape 1.2

Associez $a$ et $\frac{1}{z}$ .

$\frac{1 + \frac{a}{z} + c z^{- 2}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Étape 1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1 + \frac{a}{z} + c \frac{1}{z^{2}}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Étape 1.4

Associez $c$ et $\frac{1}{z^{2}}$ .

$\frac{1 + \frac{a}{z} + \frac{c}{z^{2}}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Étape 1.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{z}{z} + \frac{a}{z} + \frac{c}{z^{2}}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Étape 1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{z + a}{z} + \frac{c}{z^{2}}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Étape 1.7

Pour écrire $\frac{z + a}{z}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{z}{z}$ .

$\frac{\frac{z + a}{z} \cdot \frac{z}{z} + \frac{c}{z^{2}}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Étape 1.8

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $z^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.8.1

Multipliez $\frac{z + a}{z}$ par $\frac{z}{z}$ .

$\frac{\frac{(z + a) z}{z \cdot z} + \frac{c}{z^{2}}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Étape 1.8.2

Multipliez $z$ par $z$ .

$\frac{\frac{(z + a) z}{z^{2}} + \frac{c}{z^{2}}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Étape 1.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{(z + a) z + c}{z^{2}}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Étape 1.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{z \cdot z + a z + c}{z^{2}}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Étape 1.10.2

Multipliez $z$ par $z$ .

$\frac{\frac{z^{2} + a z + c}{z^{2}}}{(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Factorisez $z^{- 2}$ à partir de $(d - a b) z^{- 1} - c b z^{- 2}$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $z^{- 2}$ à partir de $(d - a b) z^{- 1}$ .

$\frac{\frac{z^{2} + a z + c}{z^{2}}}{z^{- 2} ((d - a b) z) - c b z^{- 2}}$

Étape 2.1.2

Factorisez $z^{- 2}$ à partir de $- c b z^{- 2}$ .

$\frac{\frac{z^{2} + a z + c}{z^{2}}}{z^{- 2} ((d - a b) z) + z^{- 2} (- c b)}$

Étape 2.1.3

Factorisez $z^{- 2}$ à partir de $z^{- 2} ((d - a b) z) + z^{- 2} (- c b)$ .

$\frac{\frac{z^{2} + a z + c}{z^{2}}}{z^{- 2} ((d - a b) z - c b)}$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{z^{2} + a z + c}{z^{2}}}{z^{- 2} (d z - a b z - c b)}$

Étape 2.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{z^{2} + a z + c}{z^{2}}}{\frac{1}{z^{2}} (d z - a b z - c b)}$

Étape 3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{z^{2} + a z + c}{z^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{z^{2}} (d z - a b z - c b)}$

Étape 4

Factorisez $\frac{1}{z^{2}}$ à partir de $\frac{1}{\frac{1}{z^{2}} (d z - a b z - c b)}$ .

$\frac{z^{2} + a z + c}{z^{2}} (z^{2} \frac{1}{d z - a b z - c b})$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $z^{2}$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{z^{2} + a z + c}{z^{2}} (z^{2} \frac{1}{d z - a b z - c b})$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression.

$(z^{2} + a z + c) \frac{1}{d z - a b z - c b}$

Étape 6

Multipliez $z^{2} + a z + c$ par $\frac{1}{d z - a b z - c b}$ .

$\frac{z^{2} + a z + c}{d z - a b z - c b}$

Étape 7

Divisez la fraction $\frac{z^{2} + a z + c}{d z - a b z - c b}$ en deux fractions.

$\frac{z^{2} + a z}{d z - a b z - c b} + \frac{c}{d z - a b z - c b}$

Étape 8

Divisez la fraction $\frac{z^{2} + a z}{d z - a b z - c b}$ en deux fractions.

$\frac{z^{2}}{d z - a b z - c b} + \frac{a z}{d z - a b z - c b} + \frac{c}{d z - a b z - c b}$