Pré-algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - 2 x - 3}{x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} - 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{x^{2} - 4 x + 4}$

Étape 2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

Étape 2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

Étape 2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3

Développez $(x - 3) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x + 1) - 3 (x + 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - 3 (x + 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + x - 3 x - 3 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + x - 3 x - 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 4.2

Soustrayez $3 x$ de $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 5

Divisez la fraction $\frac{x^{2} - 2 x - 3}{{(x - 2)}^{2}}$ en deux fractions.

$\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 6

Divisez la fraction $\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 2)}^{2}}$ en deux fractions.

$\frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 2 x}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{2 x}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$