Pré-algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - 25}{8 x - 8} \div \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x^{2} + 4 x - 5}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{x^{2} - 25}{8 x - 8} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 5^{2}}{8 x - 8} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{8 x - 8} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 3

Factorisez $8$ à partir de $8 x - 8$ .

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Étape 3.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{8 (x) - 8} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 3.2

Factorisez $8$ à partir de $- 8$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{8 (x) + 8 (- 1)} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 3.3

Factorisez $8$ à partir de $8 (x) + 8 (- 1)$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{8 (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 4

Factorisez $x^{2} + 4 x - 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 5$ et dont la somme est $4$ .

$- 1, 5$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{8 (x - 1)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 5)}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 5

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{8 (x - 1)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 5)}{x^{2} + 10 x + 5^{2}}$

Étape 5.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Étape 5.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{8 (x - 1)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 5)}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}$

Étape 5.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 5$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{8 (x - 1)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 5)}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 6

Associez.

$\frac{(x + 5) (x - 5) ((x - 1) (x + 5))}{8 (x - 1) {(x + 5)}^{2}}$

Étape 7

Annulez le facteur commun à $x + 5$ et ${(x + 5)}^{2}$ .

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Étape 7.1

Factorisez $x + 5$ à partir de $(x + 5) (x - 5) ((x - 1) (x + 5))$ .

$\frac{(x + 5) ((x - 5) ((x - 1) (x + 5)))}{8 (x - 1) {(x + 5)}^{2}}$

Étape 7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.1

Factorisez $x + 5$ à partir de $8 (x - 1) {(x + 5)}^{2}$ .

$\frac{(x + 5) ((x - 5) ((x - 1) (x + 5)))}{(x + 5) (8 (x - 1) (x + 5))}$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 5) ((x - 5) ((x - 1) (x + 5)))}{(x + 5) (8 (x - 1) (x + 5))}$

Étape 7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - 5) ((x - 1) (x + 5))}{8 (x - 1) (x + 5)}$

Étape 8

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 5) ((x - 1) (x + 5))}{8 (x - 1) (x + 5)}$

Étape 8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - 5) (x + 5)}{8 (x + 5)}$

Étape 9

Annulez le facteur commun de $x + 5$ .

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 5) (x + 5)}{8 (x + 5)}$

Étape 9.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 5}{8}$

Étape 10

Divisez la fraction $\frac{x - 5}{8}$ en deux fractions.

$\frac{x}{8} + \frac{- 5}{8}$

Étape 11

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x}{8} - \frac{5}{8}$