Pré-algèbre Exemples

$\frac{a^{2} - a - 20}{a^{2} - 25} \div \frac{a^{2} - 13 a + 36}{45 - 5 a}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{a^{2} - a - 20}{a^{2} - 25} \cdot \frac{45 - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

Étape 2

Factorisez $a^{2} - a - 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 20$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 5, 4$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(a - 5) (a + 4)}{a^{2} - 25} \cdot \frac{45 - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{(a - 5) (a + 4)}{a^{2} - 5^{2}} \cdot \frac{45 - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = 5$ .

$\frac{(a - 5) (a + 4)}{(a + 5) (a - 5)} \cdot \frac{45 - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $a - 5$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a - 5) (a + 4)}{(a + 5) (a - 5)} \cdot \frac{45 - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{45 - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

Étape 5

Factorisez $5$ à partir de $45 - 5 a$ .

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Étape 5.1

Factorisez $5$ à partir de $45$ .

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (9) - 5 a}{a^{2} - 13 a + 36}$

Étape 5.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5 a$ .

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (9) + 5 (- a)}{a^{2} - 13 a + 36}$

Étape 5.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (9) + 5 (- a)$ .

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (9 - a)}{a^{2} - 13 a + 36}$

Étape 6

Factorisez $a^{2} - 13 a + 36$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $36$ et dont la somme est $- 13$ .

$- 9, - 4$

Étape 6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (9 - a)}{(a - 9) (a - 4)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun à $9 - a$ et $a - 9$ .

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Étape 7.1

Réécrivez $9$ comme $- 1 (- 9)$ .

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (- 1 (- 9) - a)}{(a - 9) (a - 4)}$

Étape 7.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- a$ .

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (- 1 (- 9) - (a))}{(a - 9) (a - 4)}$

Étape 7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 9) - (a)$ .

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (- 1 (- 9 + a))}{(a - 9) (a - 4)}$

Étape 7.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (- 1 (a - 9))}{(a - 9) (a - 4)}$

Étape 7.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 (- 1 (a - 9))}{(a - 9) (a - 4)}$

Étape 7.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5 \cdot (- 1)}{a - 4}$

Étape 8

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{- 5}{a - 4}$

Étape 9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{a + 4}{a + 5} (- \frac{5}{a - 4})$

Étape 10

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{a + 4}{a + 5} \cdot \frac{5}{a - 4}$

Étape 11

Multipliez $\frac{5}{a - 4}$ par $\frac{a + 4}{a + 5}$ .

$- \frac{5 (a + 4)}{(a - 4) (a + 5)}$

Étape 12

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{5 a + 5 \cdot 4}{(a - 4) (a + 5)}$

Étape 13

Multipliez $5$ par $4$ .

$- \frac{5 a + 20}{(a - 4) (a + 5)}$

Étape 14

Divisez la fraction $\frac{5 a + 20}{(a - 4) (a + 5)}$ en deux fractions.

$- (\frac{5 a}{(a - 4) (a + 5)} + \frac{20}{(a - 4) (a + 5)})$