Pré-algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - 6 x - 27}{3 x^{2} - 243} \div \frac{x^{2} + 12 x + 27}{x^{2} + 18 x + 81}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{x^{2} - 6 x - 27}{3 x^{2} - 243} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} - 6 x - 27$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 27$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 9, 3$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 x^{2} - 243} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} - 243$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 (x^{2}) - 243} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

Étape 3.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 243$ .

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 x^{2} + 3 \cdot - 81} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

Étape 3.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 \cdot - 81$ .

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 (x^{2} - 81)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

Étape 3.2

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 (x^{2} - 9^{2})} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

Étape 3.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 9$ .

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 (x + 9) (x - 9)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $x - 9$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 9) (x + 3)}{3 (x + 9) (x - 9)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 3}{3 (x + 9)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 12 x + 27}$

Étape 5

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.1

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$\frac{x + 3}{3 (x + 9)} \cdot \frac{x^{2} + 18 x + 9^{2}}{x^{2} + 12 x + 27}$

Étape 5.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$18 x = 2 \cdot x \cdot 9$

Étape 5.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{x + 3}{3 (x + 9)} \cdot \frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 9 + 9^{2}}{x^{2} + 12 x + 27}$

Étape 5.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 9$ .

$\frac{x + 3}{3 (x + 9)} \cdot \frac{{(x + 9)}^{2}}{x^{2} + 12 x + 27}$

Étape 6

Factorisez $x^{2} + 12 x + 27$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $27$ et dont la somme est $12$ .

$3, 9$

Étape 6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x + 3}{3 (x + 9)} \cdot \frac{{(x + 9)}^{2}}{(x + 3) (x + 9)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $x + 3$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 3}{3 (x + 9)} \cdot \frac{{(x + 9)}^{2}}{(x + 3) (x + 9)}$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3 (x + 9)} \cdot \frac{{(x + 9)}^{2}}{x + 9}$

Étape 8

Annulez le facteur commun de $x + 9$ .

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Étape 8.1

Factorisez $x + 9$ à partir de $3 (x + 9)$ .

$\frac{1}{(x + 9) \cdot 3} \cdot \frac{{(x + 9)}^{2}}{x + 9}$

Étape 8.2

Factorisez $x + 9$ à partir de ${(x + 9)}^{2}$ .

$\frac{1}{(x + 9) \cdot 3} \cdot \frac{(x + 9) (x + 9)}{x + 9}$

Étape 8.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(x + 9) \cdot 3} \cdot \frac{(x + 9) (x + 9)}{x + 9}$

Étape 8.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x + 9}{x + 9}$

Étape 9

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{x + 9}{x + 9}$ .

$\frac{x + 9}{3 (x + 9)}$

Étape 10

Annulez le facteur commun de $x + 9$ .

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Étape 10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 9}{3 (x + 9)}$

Étape 10.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{3}$

Forme décimale :

$0.\overline{3}$