Pré-algèbre Exemples

$\frac{z^{2} + 11 z + 18}{z^{2} + 14 z + 45} \div \frac{z^{2} + 2 z}{z^{2} + 10 z + 25}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{z^{2} + 11 z + 18}{z^{2} + 14 z + 45} \cdot \frac{z^{2} + 10 z + 25}{z^{2} + 2 z}$

Étape 2

Factorisez $z^{2} + 11 z + 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $18$ et dont la somme est $11$ .

$2, 9$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(z + 2) (z + 9)}{z^{2} + 14 z + 45} \cdot \frac{z^{2} + 10 z + 25}{z^{2} + 2 z}$

Étape 3

Factorisez $z^{2} + 14 z + 45$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $45$ et dont la somme est $14$ .

$5, 9$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(z + 2) (z + 9)}{(z + 5) (z + 9)} \cdot \frac{z^{2} + 10 z + 25}{z^{2} + 2 z}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $z + 9$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(z + 2) (z + 9)}{(z + 5) (z + 9)} \cdot \frac{z^{2} + 10 z + 25}{z^{2} + 2 z}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{z + 2}{z + 5} \cdot \frac{z^{2} + 10 z + 25}{z^{2} + 2 z}$

Étape 5

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{z + 2}{z + 5} \cdot \frac{z^{2} + 10 z + 5^{2}}{z^{2} + 2 z}$

Étape 5.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$10 z = 2 \cdot z \cdot 5$

Étape 5.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{z + 2}{z + 5} \cdot \frac{z^{2} + 2 \cdot z \cdot 5 + 5^{2}}{z^{2} + 2 z}$

Étape 5.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = z$ et $b = 5$ .

$\frac{z + 2}{z + 5} \cdot \frac{{(z + 5)}^{2}}{z^{2} + 2 z}$

Étape 6

Factorisez $z$ à partir de $z^{2} + 2 z$ .

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Étape 6.1

Factorisez $z$ à partir de $z^{2}$ .

$\frac{z + 2}{z + 5} \cdot \frac{{(z + 5)}^{2}}{z \cdot z + 2 z}$

Étape 6.2

Factorisez $z$ à partir de $2 z$ .

$\frac{z + 2}{z + 5} \cdot \frac{{(z + 5)}^{2}}{z \cdot z + z \cdot 2}$

Étape 6.3

Factorisez $z$ à partir de $z \cdot z + z \cdot 2$ .

$\frac{z + 2}{z + 5} \cdot \frac{{(z + 5)}^{2}}{z (z + 2)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $z + 2$ .

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Étape 7.1

Factorisez $z + 2$ à partir de $z (z + 2)$ .

$\frac{z + 2}{z + 5} \cdot \frac{{(z + 5)}^{2}}{(z + 2) z}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{z + 2}{z + 5} \cdot \frac{{(z + 5)}^{2}}{(z + 2) z}$

Étape 7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{z + 5} \cdot \frac{{(z + 5)}^{2}}{z}$

Étape 8

Annulez le facteur commun de $z + 5$ .

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Étape 8.1

Factorisez $z + 5$ à partir de ${(z + 5)}^{2}$ .

$\frac{1}{z + 5} \cdot \frac{(z + 5) (z + 5)}{z}$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{z + 5} \cdot \frac{(z + 5) (z + 5)}{z}$

Étape 8.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{z + 5}{z}$

Étape 9

Divisez la fraction $\frac{z + 5}{z}$ en deux fractions.

$\frac{z}{z} + \frac{5}{z}$

Étape 10

Annulez le facteur commun de $z$ .

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Étape 10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{z}{z} + \frac{5}{z}$

Étape 10.2

Réécrivez l’expression.

$1 + \frac{5}{z}$