Pré-algèbre Exemples

$\frac{- 7 \sqrt{x} - 5}{\sqrt{x} + 9}$

Étape 1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 7 \sqrt{x} - 5$ .

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Étape 1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 7 \sqrt{x}$ .

$\frac{- (7 \sqrt{x}) - 5}{\sqrt{x} + 9}$

Étape 1.2

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$\frac{- (7 \sqrt{x}) - 1 (5)}{\sqrt{x} + 9}$

Étape 1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (7 \sqrt{x}) - 1 (5)$ .

$\frac{- (7 \sqrt{x} + 5)}{\sqrt{x} + 9}$

Étape 2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{7 \sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} + 9}$

Étape 3

Multipliez $\frac{7 \sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} + 9}$ par $\frac{\sqrt{x} - 9}{\sqrt{x} - 9}$ .

$- (\frac{7 \sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} + 9} \cdot \frac{\sqrt{x} - 9}{\sqrt{x} - 9})$

Étape 4

Multipliez $\frac{7 \sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} + 9}$ par $\frac{\sqrt{x} - 9}{\sqrt{x} - 9}$ .

$- \frac{(7 \sqrt{x} + 5) (\sqrt{x} - 9)}{(\sqrt{x} + 9) (\sqrt{x} - 9)}$

Étape 5

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$- \frac{(7 \sqrt{x} + 5) (\sqrt{x} - 9)}{{\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} \cdot - 9 + 9 \sqrt{x} - 81}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{(7 \sqrt{x} + 5) (\sqrt{x} - 9)}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 81}$

Étape 6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{(7 \sqrt{x} + 5) (\sqrt{x} - 9)}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 81}$

Étape 6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{(7 \sqrt{x} + 5) (\sqrt{x} - 9)}{x^{\frac{2}{2}} - 81}$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{(7 \sqrt{x} + 5) (\sqrt{x} - 9)}{x^{\frac{2}{2}} - 81}$

Étape 6.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{(7 \sqrt{x} + 5) (\sqrt{x} - 9)}{x^{1} - 81}$

Étape 6.5

Simplifiez

$- \frac{(7 \sqrt{x} + 5) (\sqrt{x} - 9)}{x - 81}$

Étape 7

Développez $(7 \sqrt{x} + 5) (\sqrt{x} - 9)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{7 \sqrt{x} (\sqrt{x} - 9) + 5 (\sqrt{x} - 9)}{x - 81}$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{7 \sqrt{x} \sqrt{x} + 7 \sqrt{x} \cdot - 9 + 5 (\sqrt{x} - 9)}{x - 81}$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{7 \sqrt{x} \sqrt{x} + 7 \sqrt{x} \cdot - 9 + 5 \sqrt{x} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Étape 8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Multipliez $7 \sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Étape 8.1.1.1

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{7 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}) + 7 \sqrt{x} \cdot - 9 + 5 \sqrt{x} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Étape 8.1.1.2

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{7 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}) + 7 \sqrt{x} \cdot - 9 + 5 \sqrt{x} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Étape 8.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{7 {\sqrt{x}}^{1 + 1} + 7 \sqrt{x} \cdot - 9 + 5 \sqrt{x} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Étape 8.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{7 {\sqrt{x}}^{2} + 7 \sqrt{x} \cdot - 9 + 5 \sqrt{x} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Étape 8.1.2

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 8.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{7 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 7 \sqrt{x} \cdot - 9 + 5 \sqrt{x} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Étape 8.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{7 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 7 \sqrt{x} \cdot - 9 + 5 \sqrt{x} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Étape 8.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{7 x^{\frac{2}{2}} + 7 \sqrt{x} \cdot - 9 + 5 \sqrt{x} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Étape 8.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{7 x^{\frac{2}{2}} + 7 \sqrt{x} \cdot - 9 + 5 \sqrt{x} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Étape 8.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{7 x^{1} + 7 \sqrt{x} \cdot - 9 + 5 \sqrt{x} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Étape 8.1.2.5

Simplifiez

$- \frac{7 x + 7 \sqrt{x} \cdot - 9 + 5 \sqrt{x} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Étape 8.1.3

Multipliez $- 9$ par $7$ .

$- \frac{7 x - 63 \sqrt{x} + 5 \sqrt{x} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Étape 8.1.4

Multipliez $5$ par $- 9$ .

$- \frac{7 x - 63 \sqrt{x} + 5 \sqrt{x} - 45}{x - 81}$

Étape 8.2

Additionnez $- 63 \sqrt{x}$ et $5 \sqrt{x}$ .

$- \frac{7 x - 58 \sqrt{x} - 45}{x - 81}$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{7 x - 58 x^{\frac{1}{2}} - 45}{x - 81}$

Étape 9.2

Réécrivez $x$ comme ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$- \frac{7 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 58 x^{\frac{1}{2}} - 45}{x - 81}$

Étape 9.3

Laissez $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{\frac{1}{2}}$ par $u$ .

$- \frac{7 u^{2} - 58 u - 45}{x - 81}$

Étape 9.4

Factorisez par regroupement.

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Étape 9.4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 7 \cdot - 45 = - 315$ et dont la somme est $b = - 58$ .

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Étape 9.4.1.1

Factorisez $- 58$ à partir de $- 58 u$ .

$- \frac{7 u^{2} - 58 (u) - 45}{x - 81}$

Étape 9.4.1.2

Réécrivez $- 58$ comme $5$ plus $- 63$

$- \frac{7 u^{2} + (5 - 63) u - 45}{x - 81}$

Étape 9.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{7 u^{2} + 5 u - 63 u - 45}{x - 81}$

Étape 9.4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 9.4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- \frac{(7 u^{2} + 5 u) - 63 u - 45}{x - 81}$

Étape 9.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- \frac{u (7 u + 5) - 9 (7 u + 5)}{x - 81}$

Étape 9.4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $7 u + 5$ .

$- \frac{(7 u + 5) (u - 9)}{x - 81}$

Étape 9.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{(7 x^{\frac{1}{2}} + 5) (x^{\frac{1}{2}} - 9)}{x - 81}$

Étape 10

Développez $(7 x^{\frac{1}{2}} + 5) (x^{\frac{1}{2}} - 9)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{7 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - 9) + 5 (x^{\frac{1}{2}} - 9)}{x - 81}$

Étape 10.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{7 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 7 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 9 + 5 (x^{\frac{1}{2}} - 9)}{x - 81}$

Étape 10.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{7 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 7 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 9 + 5 x^{\frac{1}{2}} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Étape 11

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1.1

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.1.1.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{7 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 7 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 9 + 5 x^{\frac{1}{2}} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Étape 11.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{7 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 7 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 9 + 5 x^{\frac{1}{2}} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Étape 11.1.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{7 x^{\frac{1 + 1}{2}} + 7 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 9 + 5 x^{\frac{1}{2}} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Étape 11.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{7 x^{\frac{2}{2}} + 7 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 9 + 5 x^{\frac{1}{2}} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Étape 11.1.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$- \frac{7 x^{1} + 7 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 9 + 5 x^{\frac{1}{2}} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Étape 11.1.2

Simplifiez $7 x^{1}$ .

$- \frac{7 x + 7 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 9 + 5 x^{\frac{1}{2}} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Étape 11.1.3

Multipliez $- 9$ par $7$ .

$- \frac{7 x - 63 x^{\frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{1}{2}} + 5 \cdot - 9}{x - 81}$

Étape 11.1.4

Multipliez $5$ par $- 9$ .

$- \frac{7 x - 63 x^{\frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{1}{2}} - 45}{x - 81}$

Étape 11.2

Additionnez $- 63 x^{\frac{1}{2}}$ et $5 x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{7 x - 58 x^{\frac{1}{2}} - 45}{x - 81}$

Étape 12

Divisez la fraction $\frac{7 x - 58 x^{\frac{1}{2}} - 45}{x - 81}$ en deux fractions.

$- (\frac{7 x - 58 x^{\frac{1}{2}}}{x - 81} + \frac{- 45}{x - 81})$

Étape 13

Divisez la fraction $\frac{7 x - 58 x^{\frac{1}{2}}}{x - 81}$ en deux fractions.

$- (\frac{7 x}{x - 81} + \frac{- 58 x^{\frac{1}{2}}}{x - 81} + \frac{- 45}{x - 81})$

Étape 14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- (\frac{7 x}{x - 81} - \frac{58 x^{\frac{1}{2}}}{x - 81} + \frac{- 45}{x - 81})$

Étape 15

Placez le signe moins devant la fraction.

$- (\frac{7 x}{x - 81} - \frac{58 x^{\frac{1}{2}}}{x - 81} - \frac{45}{x - 81})$