Pré-algèbre Exemples

$\frac{\frac{2 x^{2} - 10 x + 12}{x^{2} - 7 x + 12}}{\frac{2 x^{2} \cdot (16 x) + 24}{x^{2} - 6 x + 8}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{2 x^{2} - 10 x + 12}{x^{2} - 7 x + 12} \cdot \frac{x^{2} - 6 x + 8}{2 x^{2} \cdot (16 x) + 24}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} - 10 x + 12$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 10 x + 12}{x^{2} - 7 x + 12} \cdot \frac{x^{2} - 6 x + 8}{2 x^{2} \cdot (16 x) + 24}$

Étape 2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 10 x$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 5 x) + 12}{x^{2} - 7 x + 12} \cdot \frac{x^{2} - 6 x + 8}{2 x^{2} \cdot (16 x) + 24}$

Étape 2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 (- 5 x) + 2 \cdot 6}{x^{2} - 7 x + 12} \cdot \frac{x^{2} - 6 x + 8}{2 x^{2} \cdot (16 x) + 24}$

Étape 2.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 (- 5 x)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 5 x) + 2 \cdot 6}{x^{2} - 7 x + 12} \cdot \frac{x^{2} - 6 x + 8}{2 x^{2} \cdot (16 x) + 24}$

Étape 2.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2} - 5 x) + 2 \cdot 6$ .

$\frac{2 (x^{2} - 5 x + 6)}{x^{2} - 7 x + 12} \cdot \frac{x^{2} - 6 x + 8}{2 x^{2} \cdot (16 x) + 24}$

Étape 2.2

Factorisez $x^{2} - 5 x + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 3, - 2$

Étape 2.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2 ((x - 3) (x - 2))}{x^{2} - 7 x + 12} \cdot \frac{x^{2} - 6 x + 8}{2 x^{2} \cdot (16 x) + 24}$

$\frac{2 (x - 3) (x - 2)}{x^{2} - 7 x + 12} \cdot \frac{x^{2} - 6 x + 8}{2 x^{2} \cdot (16 x) + 24}$

Étape 3

Factorisez $x^{2} - 7 x + 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $12$ et dont la somme est $- 7$ .

$- 4, - 3$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2 (x - 3) (x - 2)}{(x - 4) (x - 3)} \cdot \frac{x^{2} - 6 x + 8}{2 x^{2} \cdot (16 x) + 24}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x - 3) (x - 2)}{(x - 4) (x - 3)} \cdot \frac{x^{2} - 6 x + 8}{2 x^{2} \cdot (16 x) + 24}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (x - 2)}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 6 x + 8}{2 x^{2} \cdot (16 x) + 24}$

Étape 5

Factorisez $x^{2} - 6 x + 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $8$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 4, - 2$

Étape 5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2 (x - 2)}{x - 4} \cdot \frac{(x - 4) (x - 2)}{2 x^{2} \cdot (16 x) + 24}$

Étape 6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 (x - 2)}{x - 4} \cdot \frac{(x - 4) (x - 2)}{2 \cdot 16 x^{2} x + 24}$

Étape 6.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x - 2)}{x - 4} \cdot \frac{(x - 4) (x - 2)}{2 \cdot 16 (x \cdot x^{2}) + 24}$

Étape 6.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 6.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x - 2)}{x - 4} \cdot \frac{(x - 4) (x - 2)}{2 \cdot 16 (x^{1} x^{2}) + 24}$

Étape 6.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (x - 2)}{x - 4} \cdot \frac{(x - 4) (x - 2)}{2 \cdot 16 x^{1 + 2} + 24}$

Étape 6.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 (x - 2)}{x - 4} \cdot \frac{(x - 4) (x - 2)}{2 \cdot 16 x^{3} + 24}$

Étape 6.3

Multipliez $2$ par $16$ .

$\frac{2 (x - 2)}{x - 4} \cdot \frac{(x - 4) (x - 2)}{32 x^{3} + 24}$

Étape 6.4

Factorisez $8$ à partir de $32 x^{3} + 24$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $8$ à partir de $32 x^{3}$ .

$\frac{2 (x - 2)}{x - 4} \cdot \frac{(x - 4) (x - 2)}{8 (4 x^{3}) + 24}$

Étape 6.4.2

Factorisez $8$ à partir de $24$ .

$\frac{2 (x - 2)}{x - 4} \cdot \frac{(x - 4) (x - 2)}{8 (4 x^{3}) + 8 (3)}$

Étape 6.4.3

Factorisez $8$ à partir de $8 (4 x^{3}) + 8 (3)$ .

$\frac{2 (x - 2)}{x - 4} \cdot \frac{(x - 4) (x - 2)}{8 (4 x^{3} + 3)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1

Factorisez $2$ à partir de $8 (4 x^{3} + 3)$ .

$\frac{2 (x - 2)}{x - 4} \cdot \frac{(x - 4) (x - 2)}{2 (4 (4 x^{3} + 3))}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x - 2)}{x - 4} \cdot \frac{(x - 4) (x - 2)}{2 (4 (4 x^{3} + 3))}$

Étape 7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 2}{x - 4} \cdot \frac{(x - 4) (x - 2)}{4 (4 x^{3} + 3)}$

Étape 8

Annulez le facteur commun de $x - 4$ .

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x - 2}{x - 4} \cdot \frac{(x - 4) (x - 2)}{4 (4 x^{3} + 3)}$

Étape 8.2

Réécrivez l’expression.

$(x - 2) \frac{x - 2}{4 (4 x^{3} + 3)}$

Étape 9

Multipliez $x - 2$ par $\frac{x - 2}{4 (4 x^{3} + 3)}$ .

$\frac{(x - 2) (x - 2)}{4 (4 x^{3} + 3)}$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1

Élevez $x - 2$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{1} (x - 2)}{4 (4 x^{3} + 3)}$

Étape 10.2

Élevez $x - 2$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1}}{4 (4 x^{3} + 3)}$

Étape 10.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(x - 2)}^{1 + 1}}{4 (4 x^{3} + 3)}$

Étape 10.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{4 (4 x^{3} + 3)}$

Étape 11

Réécrivez ${(x - 2)}^{2}$ comme $(x - 2) (x - 2)$ .

$\frac{(x - 2) (x - 2)}{4 (4 x^{3} + 3)}$

Étape 12

Développez $(x - 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x - 2) - 2 (x - 2)}{4 (4 x^{3} + 3)}$

Étape 12.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)}{4 (4 x^{3} + 3)}$

Étape 12.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2}{4 (4 x^{3} + 3)}$

Étape 13

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2}{4 (4 x^{3} + 3)}$

Étape 13.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2}{4 (4 x^{3} + 3)}$

Étape 13.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 2 x + 4}{4 (4 x^{3} + 3)}$

Étape 13.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 4}{4 (4 x^{3} + 3)}$

Étape 14

Divisez la fraction $\frac{x^{2} - 4 x + 4}{4 (4 x^{3} + 3)}$ en deux fractions.

$\frac{x^{2} - 4 x}{4 (4 x^{3} + 3)} + \frac{4}{4 (4 x^{3} + 3)}$

Étape 15

Divisez la fraction $\frac{x^{2} - 4 x}{4 (4 x^{3} + 3)}$ en deux fractions.

$\frac{x^{2}}{4 (4 x^{3} + 3)} + \frac{- 4 x}{4 (4 x^{3} + 3)} + \frac{4}{4 (4 x^{3} + 3)}$

Étape 16

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $4$ .

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Étape 16.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{x^{2}}{4 (4 x^{3} + 3)} + \frac{4 (- x)}{4 (4 x^{3} + 3)} + \frac{4}{4 (4 x^{3} + 3)}$

Étape 16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 16.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2}}{4 (4 x^{3} + 3)} + \frac{4 (- x)}{4 (4 x^{3} + 3)} + \frac{4}{4 (4 x^{3} + 3)}$

Étape 16.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2}}{4 (4 x^{3} + 3)} + \frac{- x}{4 x^{3} + 3} + \frac{4}{4 (4 x^{3} + 3)}$

Étape 17

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x^{2}}{4 (4 x^{3} + 3)} - \frac{x}{4 x^{3} + 3} + \frac{4}{4 (4 x^{3} + 3)}$

Étape 18

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 18.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2}}{4 (4 x^{3} + 3)} - \frac{x}{4 x^{3} + 3} + \frac{4}{4 (4 x^{3} + 3)}$

Étape 18.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2}}{4 (4 x^{3} + 3)} - \frac{x}{4 x^{3} + 3} + \frac{1}{4 x^{3} + 3}$