Pré-algèbre Exemples

$\frac{p^{2} - 16}{\frac{\frac{8 pt}{p^{2} + 12 p + 32}}{4 pt}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(p^{2} - 16) \frac{4 pt}{\frac{8 pt}{p^{2} + 12 p + 32}}$

Étape 2

Factorisez $p^{2} + 12 p + 32$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $32$ et dont la somme est $12$ .

$4, 8$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(p^{2} - 16) \frac{4 pt}{\frac{8 pt}{(p + 4) (p + 8)}}$

Étape 3

Réécrivez l’expression.

$(p^{2} - 16) \frac{4 pt}{\frac{8}{(p + 4) (p + 8)} pt}$

Étape 4

Cancel $pt$ .

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Étape 4.1

Cancel $pt$ .

$(p^{2} - 16) \frac{4 pt}{\frac{8}{(p + 4) (p + 8)} pt}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$(p^{2} - 16) \frac{4}{\frac{8}{(p + 4) (p + 8)}}$

Étape 5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(p^{2} - 16) (4 \frac{(p + 4) (p + 8)}{8})$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$(p^{2} - 16) (4 \frac{(p + 4) (p + 8)}{4 (2)})$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$(p^{2} - 16) (4 \frac{(p + 4) (p + 8)}{4 \cdot 2})$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$(p^{2} - 16) \frac{(p + 4) (p + 8)}{2}$

Étape 7

Appliquez la propriété distributive.

$p^{2} \frac{(p + 4) (p + 8)}{2} - 16 \frac{(p + 4) (p + 8)}{2}$

Étape 8

Associez $p^{2}$ et $\frac{(p + 4) (p + 8)}{2}$ .

$\frac{p^{2} ((p + 4) (p + 8))}{2} - 16 \frac{(p + 4) (p + 8)}{2}$

Étape 9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1

Factorisez $2$ à partir de $- 16$ .

$\frac{p^{2} ((p + 4) (p + 8))}{2} + 2 (- 8) \frac{(p + 4) (p + 8)}{2}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{p^{2} ((p + 4) (p + 8))}{2} + 2 \cdot - 8 \frac{(p + 4) (p + 8)}{2}$

Étape 9.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{p^{2} ((p + 4) (p + 8))}{2} - 8 ((p + 4) (p + 8))$

Étape 10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1

Développez $(p + 4) (p + 8)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 10.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{p^{2} (p + 4) (p + 8)}{2} - 8 (p (p + 8) + 4 (p + 8))$

Étape 10.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{p^{2} (p + 4) (p + 8)}{2} - 8 (p \cdot p + p \cdot 8 + 4 (p + 8))$

Étape 10.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{p^{2} (p + 4) (p + 8)}{2} - 8 (p \cdot p + p \cdot 8 + 4 p + 4 \cdot 8)$

Étape 10.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.1

Multipliez $p$ par $p$ .

$\frac{p^{2} (p + 4) (p + 8)}{2} - 8 (p^{2} + p \cdot 8 + 4 p + 4 \cdot 8)$

Étape 10.2.1.2

Déplacez $8$ à gauche de $p$ .

$\frac{p^{2} (p + 4) (p + 8)}{2} - 8 (p^{2} + 8 \cdot p + 4 p + 4 \cdot 8)$

Étape 10.2.1.3

Multipliez $4$ par $8$ .

$\frac{p^{2} (p + 4) (p + 8)}{2} - 8 (p^{2} + 8 p + 4 p + 32)$

Étape 10.2.2

Additionnez $8 p$ et $4 p$ .

$\frac{p^{2} (p + 4) (p + 8)}{2} - 8 (p^{2} + 12 p + 32)$

Étape 10.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{p^{2} (p + 4) (p + 8)}{2} - 8 p^{2} - 8 (12 p) - 8 \cdot 32$

Étape 10.4

Simplifiez

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Étape 10.4.1

Multipliez $12$ par $- 8$ .

$\frac{p^{2} (p + 4) (p + 8)}{2} - 8 p^{2} - 96 p - 8 \cdot 32$

Étape 10.4.2

Multipliez $- 8$ par $32$ .

$\frac{p^{2} (p + 4) (p + 8)}{2} - 8 p^{2} - 96 p - 256$

Étape 11

Pour écrire $- 8 p^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{p^{2} (p + 4) (p + 8)}{2} - 8 p^{2} \cdot \frac{2}{2} - 96 p - 256$

Étape 12

Associez $- 8 p^{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{p^{2} (p + 4) (p + 8)}{2} + \frac{- 8 p^{2} \cdot 2}{2} - 96 p - 256$

Étape 13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{p^{2} (p + 4) (p + 8) - 8 p^{2} \cdot 2}{2} - 96 p - 256$

Étape 14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.1

Factorisez $p^{2}$ à partir de $p^{2} (p + 4) (p + 8) - 8 p^{2} \cdot 2$ .

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Étape 14.1.1

Factorisez $p^{2}$ à partir de $p^{2} (p + 4) (p + 8)$ .

$\frac{p^{2} ((p + 4) (p + 8)) - 8 p^{2} \cdot 2}{2} - 96 p - 256$

Étape 14.1.2

Factorisez $p^{2}$ à partir de $- 8 p^{2} \cdot 2$ .

$\frac{p^{2} ((p + 4) (p + 8)) + p^{2} (- 8 \cdot 2)}{2} - 96 p - 256$

Étape 14.1.3

Factorisez $p^{2}$ à partir de $p^{2} ((p + 4) (p + 8)) + p^{2} (- 8 \cdot 2)$ .

$\frac{p^{2} ((p + 4) (p + 8) - 8 \cdot 2)}{2} - 96 p - 256$

Étape 14.2

Développez $(p + 4) (p + 8)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 14.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{p^{2} (p (p + 8) + 4 (p + 8) - 8 \cdot 2)}{2} - 96 p - 256$

Étape 14.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{p^{2} (p \cdot p + p \cdot 8 + 4 (p + 8) - 8 \cdot 2)}{2} - 96 p - 256$

Étape 14.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{p^{2} (p \cdot p + p \cdot 8 + 4 p + 4 \cdot 8 - 8 \cdot 2)}{2} - 96 p - 256$

Étape 14.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 14.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.3.1.1

Multipliez $p$ par $p$ .

$\frac{p^{2} (p^{2} + p \cdot 8 + 4 p + 4 \cdot 8 - 8 \cdot 2)}{2} - 96 p - 256$

Étape 14.3.1.2

Déplacez $8$ à gauche de $p$ .

$\frac{p^{2} (p^{2} + 8 \cdot p + 4 p + 4 \cdot 8 - 8 \cdot 2)}{2} - 96 p - 256$

Étape 14.3.1.3

Multipliez $4$ par $8$ .

$\frac{p^{2} (p^{2} + 8 p + 4 p + 32 - 8 \cdot 2)}{2} - 96 p - 256$

Étape 14.3.2

Additionnez $8 p$ et $4 p$ .

$\frac{p^{2} (p^{2} + 12 p + 32 - 8 \cdot 2)}{2} - 96 p - 256$

Étape 14.4

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$\frac{p^{2} (p^{2} + 12 p + 32 - 16)}{2} - 96 p - 256$

Étape 14.5

Soustrayez $16$ de $32$ .

$\frac{p^{2} (p^{2} + 12 p + 16)}{2} - 96 p - 256$

Étape 15

Pour écrire $- 96 p$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{p^{2} (p^{2} + 12 p + 16)}{2} - 96 p \cdot \frac{2}{2} - 256$

Étape 16

Associez $- 96 p$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{p^{2} (p^{2} + 12 p + 16)}{2} + \frac{- 96 p \cdot 2}{2} - 256$

Étape 17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{p^{2} (p^{2} + 12 p + 16) - 96 p \cdot 2}{2} - 256$

Étape 18

Simplifiez le numérateur.

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Étape 18.1

Factorisez $p$ à partir de $p^{2} (p^{2} + 12 p + 16) - 96 p \cdot 2$ .

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Étape 18.1.1

Factorisez $p$ à partir de $p^{2} (p^{2} + 12 p + 16)$ .

$\frac{p (p (p^{2} + 12 p + 16)) - 96 p \cdot 2}{2} - 256$

Étape 18.1.2

Factorisez $p$ à partir de $- 96 p \cdot 2$ .

$\frac{p (p (p^{2} + 12 p + 16)) + p (- 96 \cdot 2)}{2} - 256$

Étape 18.1.3

Factorisez $p$ à partir de $p (p (p^{2} + 12 p + 16)) + p (- 96 \cdot 2)$ .

$\frac{p (p (p^{2} + 12 p + 16) - 96 \cdot 2)}{2} - 256$

Étape 18.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{p (p \cdot p^{2} + p (12 p) + p \cdot 16 - 96 \cdot 2)}{2} - 256$

Étape 18.3

Simplifiez

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Étape 18.3.1

Multipliez $p$ par $p^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 18.3.1.1

Multipliez $p$ par $p^{2}$ .

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Étape 18.3.1.1.1

Élevez $p$ à la puissance $1$ .

$\frac{p (p^{1} p^{2} + p (12 p) + p \cdot 16 - 96 \cdot 2)}{2} - 256$

Étape 18.3.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{p (p^{1 + 2} + p (12 p) + p \cdot 16 - 96 \cdot 2)}{2} - 256$

Étape 18.3.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{p (p^{3} + p (12 p) + p \cdot 16 - 96 \cdot 2)}{2} - 256$

Étape 18.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{p (p^{3} + 12 p \cdot p + p \cdot 16 - 96 \cdot 2)}{2} - 256$

Étape 18.3.3

Déplacez $16$ à gauche de $p$ .

$\frac{p (p^{3} + 12 p \cdot p + 16 \cdot p - 96 \cdot 2)}{2} - 256$

Étape 18.4

Multipliez $p$ par $p$ en additionnant les exposants.

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Étape 18.4.1

Déplacez $p$ .

$\frac{p (p^{3} + 12 (p \cdot p) + 16 \cdot p - 96 \cdot 2)}{2} - 256$

Étape 18.4.2

Multipliez $p$ par $p$ .

$\frac{p (p^{3} + 12 p^{2} + 16 \cdot p - 96 \cdot 2)}{2} - 256$

$\frac{p (p^{3} + 12 p^{2} + 16 p - 96 \cdot 2)}{2} - 256$

Étape 18.5

Multipliez $- 96$ par $2$ .

$\frac{p (p^{3} + 12 p^{2} + 16 p - 192)}{2} - 256$

Étape 19

Pour écrire $- 256$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{p (p^{3} + 12 p^{2} + 16 p - 192)}{2} - 256 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 20

Associez $- 256$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{p (p^{3} + 12 p^{2} + 16 p - 192)}{2} + \frac{- 256 \cdot 2}{2}$

Étape 21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{p (p^{3} + 12 p^{2} + 16 p - 192) - 256 \cdot 2}{2}$

Étape 22

Simplifiez le numérateur.

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Étape 22.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{p \cdot p^{3} + p (12 p^{2}) + p (16 p) + p \cdot - 192 - 256 \cdot 2}{2}$

Étape 22.2

Simplifiez

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Étape 22.2.1

Multipliez $p$ par $p^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 22.2.1.1

Multipliez $p$ par $p^{3}$ .

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Étape 22.2.1.1.1

Élevez $p$ à la puissance $1$ .

$\frac{p^{1} p^{3} + p (12 p^{2}) + p (16 p) + p \cdot - 192 - 256 \cdot 2}{2}$

Étape 22.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{p^{1 + 3} + p (12 p^{2}) + p (16 p) + p \cdot - 192 - 256 \cdot 2}{2}$

Étape 22.2.1.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{p^{4} + p (12 p^{2}) + p (16 p) + p \cdot - 192 - 256 \cdot 2}{2}$

Étape 22.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{p^{4} + 12 p \cdot p^{2} + p (16 p) + p \cdot - 192 - 256 \cdot 2}{2}$

Étape 22.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{p^{4} + 12 p \cdot p^{2} + 16 p \cdot p + p \cdot - 192 - 256 \cdot 2}{2}$

Étape 22.2.4

Déplacez $- 192$ à gauche de $p$ .

$\frac{p^{4} + 12 p \cdot p^{2} + 16 p \cdot p - 192 \cdot p - 256 \cdot 2}{2}$

Étape 22.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 22.3.1

Multipliez $p$ par $p^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 22.3.1.1

Déplacez $p^{2}$ .

$\frac{p^{4} + 12 (p^{2} p) + 16 p \cdot p - 192 \cdot p - 256 \cdot 2}{2}$

Étape 22.3.1.2

Multipliez $p^{2}$ par $p$ .

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Étape 22.3.1.2.1

Élevez $p$ à la puissance $1$ .

$\frac{p^{4} + 12 (p^{2} p^{1}) + 16 p \cdot p - 192 \cdot p - 256 \cdot 2}{2}$

Étape 22.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{p^{4} + 12 p^{2 + 1} + 16 p \cdot p - 192 \cdot p - 256 \cdot 2}{2}$

Étape 22.3.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{p^{4} + 12 p^{3} + 16 p \cdot p - 192 \cdot p - 256 \cdot 2}{2}$

Étape 22.3.2

Multipliez $p$ par $p$ en additionnant les exposants.

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Étape 22.3.2.1

Déplacez $p$ .

$\frac{p^{4} + 12 p^{3} + 16 (p \cdot p) - 192 \cdot p - 256 \cdot 2}{2}$

Étape 22.3.2.2

Multipliez $p$ par $p$ .

$\frac{p^{4} + 12 p^{3} + 16 p^{2} - 192 \cdot p - 256 \cdot 2}{2}$

$\frac{p^{4} + 12 p^{3} + 16 p^{2} - 192 p - 256 \cdot 2}{2}$

Étape 22.4

Multipliez $- 256$ par $2$ .

$\frac{p^{4} + 12 p^{3} + 16 p^{2} - 192 p - 512}{2}$

Étape 23

Divisez la fraction $\frac{p^{4} + 12 p^{3} + 16 p^{2} - 192 p - 512}{2}$ en deux fractions.

$\frac{p^{4} + 12 p^{3} + 16 p^{2} - 192 p}{2} + \frac{- 512}{2}$

Étape 24

Divisez la fraction $\frac{p^{4} + 12 p^{3} + 16 p^{2} - 192 p}{2}$ en deux fractions.

$\frac{p^{4} + 12 p^{3} + 16 p^{2}}{2} + \frac{- 192 p}{2} + \frac{- 512}{2}$

Étape 25

Divisez la fraction $\frac{p^{4} + 12 p^{3} + 16 p^{2}}{2}$ en deux fractions.

$\frac{p^{4} + 12 p^{3}}{2} + \frac{16 p^{2}}{2} + \frac{- 192 p}{2} + \frac{- 512}{2}$

Étape 26

Divisez la fraction $\frac{p^{4} + 12 p^{3}}{2}$ en deux fractions.

$\frac{p^{4}}{2} + \frac{12 p^{3}}{2} + \frac{16 p^{2}}{2} + \frac{- 192 p}{2} + \frac{- 512}{2}$

Étape 27

Annulez le facteur commun à $12$ et $2$ .

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Étape 27.1

Factorisez $2$ à partir de $12 p^{3}$ .

$\frac{p^{4}}{2} + \frac{2 (6 p^{3})}{2} + \frac{16 p^{2}}{2} + \frac{- 192 p}{2} + \frac{- 512}{2}$

Étape 27.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 27.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{p^{4}}{2} + \frac{2 (6 p^{3})}{2 (1)} + \frac{16 p^{2}}{2} + \frac{- 192 p}{2} + \frac{- 512}{2}$

Étape 27.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{p^{4}}{2} + \frac{2 (6 p^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{16 p^{2}}{2} + \frac{- 192 p}{2} + \frac{- 512}{2}$

Étape 27.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{p^{4}}{2} + \frac{6 p^{3}}{1} + \frac{16 p^{2}}{2} + \frac{- 192 p}{2} + \frac{- 512}{2}$

Étape 27.2.4

Divisez $6 p^{3}$ par $1$ .

$\frac{p^{4}}{2} + 6 p^{3} + \frac{16 p^{2}}{2} + \frac{- 192 p}{2} + \frac{- 512}{2}$

Étape 28

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 28.1

Factorisez $2$ à partir de $16 p^{2}$ .

$\frac{p^{4}}{2} + 6 p^{3} + \frac{2 (8 p^{2})}{2} + \frac{- 192 p}{2} + \frac{- 512}{2}$

Étape 28.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 28.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{p^{4}}{2} + 6 p^{3} + \frac{2 (8 p^{2})}{2 (1)} + \frac{- 192 p}{2} + \frac{- 512}{2}$

Étape 28.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{p^{4}}{2} + 6 p^{3} + \frac{2 (8 p^{2})}{2 \cdot 1} + \frac{- 192 p}{2} + \frac{- 512}{2}$

Étape 28.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{p^{4}}{2} + 6 p^{3} + \frac{8 p^{2}}{1} + \frac{- 192 p}{2} + \frac{- 512}{2}$

Étape 28.2.4

Divisez $8 p^{2}$ par $1$ .

$\frac{p^{4}}{2} + 6 p^{3} + 8 p^{2} + \frac{- 192 p}{2} + \frac{- 512}{2}$

Étape 29

Annulez le facteur commun à $- 192$ et $2$ .

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Étape 29.1

Factorisez $2$ à partir de $- 192 p$ .

$\frac{p^{4}}{2} + 6 p^{3} + 8 p^{2} + \frac{2 (- 96 p)}{2} + \frac{- 512}{2}$

Étape 29.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 29.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{p^{4}}{2} + 6 p^{3} + 8 p^{2} + \frac{2 (- 96 p)}{2 (1)} + \frac{- 512}{2}$

Étape 29.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{p^{4}}{2} + 6 p^{3} + 8 p^{2} + \frac{2 (- 96 p)}{2 \cdot 1} + \frac{- 512}{2}$

Étape 29.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{p^{4}}{2} + 6 p^{3} + 8 p^{2} + \frac{- 96 p}{1} + \frac{- 512}{2}$

Étape 29.2.4

Divisez $- 96 p$ par $1$ .

$\frac{p^{4}}{2} + 6 p^{3} + 8 p^{2} - 96 p + \frac{- 512}{2}$

Étape 30

Divisez $- 512$ par $2$ .

$\frac{p^{4}}{2} + 6 p^{3} + 8 p^{2} - 96 p - 256$