Pré-algèbre Exemples

$\frac{f^{2} - 9}{- f^{3} + 6 f^{2}} \div \frac{- 9 f - 27}{f^{2} - 12 f + 36}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{f^{2} - 9}{- f^{3} + 6 f^{2}} \cdot \frac{f^{2} - 12 f + 36}{- 9 f - 27}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{f^{2} - 3^{2}}{- f^{3} + 6 f^{2}} \cdot \frac{f^{2} - 12 f + 36}{- 9 f - 27}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = f$ et $b = 3$ .

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{- f^{3} + 6 f^{2}} \cdot \frac{f^{2} - 12 f + 36}{- 9 f - 27}$

Étape 3

Factorisez $f^{2}$ à partir de $- f^{3} + 6 f^{2}$ .

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Étape 3.1

Factorisez $f^{2}$ à partir de $- f^{3}$ .

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f) + 6 f^{2}} \cdot \frac{f^{2} - 12 f + 36}{- 9 f - 27}$

Étape 3.2

Factorisez $f^{2}$ à partir de $6 f^{2}$ .

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f) + f^{2} \cdot 6} \cdot \frac{f^{2} - 12 f + 36}{- 9 f - 27}$

Étape 3.3

Factorisez $f^{2}$ à partir de $f^{2} (- f) + f^{2} \cdot 6$ .

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f + 6)} \cdot \frac{f^{2} - 12 f + 36}{- 9 f - 27}$

Étape 4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f + 6)} \cdot \frac{f^{2} - 12 f + 6^{2}}{- 9 f - 27}$

Étape 4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$12 f = 2 \cdot f \cdot 6$

Étape 4.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f + 6)} \cdot \frac{f^{2} - 2 \cdot f \cdot 6 + 6^{2}}{- 9 f - 27}$

Étape 4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = f$ et $b = 6$ .

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f + 6)} \cdot \frac{{(f - 6)}^{2}}{- 9 f - 27}$

Étape 5

Factorisez $9$ à partir de $- 9 f - 27$ .

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Étape 5.1

Factorisez $9$ à partir de $- 9 f$ .

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f + 6)} \cdot \frac{{(f - 6)}^{2}}{9 (- f) - 27}$

Étape 5.2

Factorisez $9$ à partir de $- 27$ .

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f + 6)} \cdot \frac{{(f - 6)}^{2}}{9 (- f) + 9 (- 3)}$

Étape 5.3

Factorisez $9$ à partir de $9 (- f) + 9 (- 3)$ .

$\frac{(f + 3) (f - 3)}{f^{2} (- f + 6)} \cdot \frac{{(f - 6)}^{2}}{9 (- f - 3)}$

Étape 6

Associez.

$\frac{(f + 3) (f - 3) {(f - 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) (9 (- f - 3))}$

Étape 7

Annulez le facteur commun à $f + 3$ et $- f - 3$ .

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Étape 7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $f$ .

$\frac{(- 1 (- f) + 3) (f - 3) {(f - 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) (9 (- f - 3))}$

Étape 7.2

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$\frac{(- 1 (- f) - 1 (- 3)) (f - 3) {(f - 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) (9 (- f - 3))}$

Étape 7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- f) - 1 (- 3)$ .

$\frac{- 1 (- f - 3) (f - 3) {(f - 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) (9 (- f - 3))}$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (- f - 3) (f - 3) {(f - 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) (9 (- f - 3))}$

Étape 7.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{(- 1 (f - 3)) {(f - 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) \cdot (9)}$

Étape 8

Annulez le facteur commun à ${(f - 6)}^{2}$ et $- f + 6$ .

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Étape 8.1

Factorisez $- 1$ à partir de $f$ .

$\frac{- 1 (f - 3) {(- 1 (- f) - 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) \cdot (9)}$

Étape 8.2

Réécrivez $- 6$ comme $- 1 (6)$ .

$\frac{- 1 (f - 3) {(- 1 (- f) - 1 (6))}^{2}}{f^{2} (- f + 6) \cdot (9)}$

Étape 8.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- f) - 1 (6)$ .

$\frac{- 1 (f - 3) {(- 1 (- f + 6))}^{2}}{f^{2} (- f + 6) \cdot (9)}$

Étape 8.4

Appliquez la règle de produit à $- 1 (- f + 6)$ .

$\frac{- 1 (f - 3) ({(- 1)}^{2} {(- f + 6)}^{2})}{f^{2} (- f + 6) \cdot (9)}$

Étape 8.5

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 1 (f - 3) (1 {(- f + 6)}^{2})}{f^{2} (- f + 6) \cdot (9)}$

Étape 8.6

Multipliez ${(- f + 6)}^{2}$ par $1$ .

$\frac{- 1 (f - 3) {(- f + 6)}^{2}}{f^{2} (- f + 6) \cdot (9)}$

Étape 8.7

Factorisez $- f + 6$ à partir de $- 1 (f - 3) {(- f + 6)}^{2}$ .

$\frac{(- f + 6) (- 1 (f - 3) (- f + 6))}{f^{2} (- f + 6) \cdot 9}$

Étape 8.8

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.8.1

Factorisez $- f + 6$ à partir de $f^{2} (- f + 6) \cdot 9$ .

$\frac{(- f + 6) (- 1 (f - 3) (- f + 6))}{(- f + 6) (f^{2} \cdot 9)}$

Étape 8.8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(- f + 6) (- 1 (f - 3) (- f + 6))}{(- f + 6) (f^{2} \cdot 9)}$

Étape 8.8.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 (f - 3) (- f + 6)}{f^{2} \cdot 9}$

Étape 9

Déplacez $9$ à gauche de $f^{2}$ .

$\frac{- 1 (f - 3) (- f + 6)}{9 \cdot f^{2}}$

Étape 10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(f - 3) (- f + 6)}{9 \cdot f^{2}}$

Étape 11

Factorisez $- 1$ à partir de $- f$ .

$- \frac{(f - 3) (- (f) + 6)}{9 f^{2}}$

Étape 12

Réécrivez $6$ comme $- 1 (- 6)$ .

$- \frac{(f - 3) (- (f) - 1 (- 6))}{9 f^{2}}$

Étape 13

Factorisez $- 1$ à partir de $- (f) - 1 (- 6)$ .

$- \frac{(f - 3) (- (f - 6))}{9 f^{2}}$

Étape 14

Réécrivez $- (f - 6)$ comme $- 1 (f - 6)$ .

$- \frac{(f - 3) (- 1 (f - 6))}{9 f^{2}}$

Étape 15

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{(f - 3) (f - 6)}{9 f^{2}}$

Étape 16

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{(f - 3) (f - 6)}{9 f^{2}}$

Étape 17

Multipliez $\frac{(f - 3) (f - 6)}{9 f^{2}}$ par $1$ .

$\frac{(f - 3) (f - 6)}{9 f^{2}}$

Étape 18

Développez $(f - 3) (f - 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 18.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{f (f - 6) - 3 (f - 6)}{9 f^{2}}$

Étape 18.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{f \cdot f + f \cdot - 6 - 3 (f - 6)}{9 f^{2}}$

Étape 18.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{f \cdot f + f \cdot - 6 - 3 f - 3 \cdot - 6}{9 f^{2}}$

Étape 19

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 19.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.1.1

Multipliez $f$ par $f$ .

$\frac{f^{2} + f \cdot - 6 - 3 f - 3 \cdot - 6}{9 f^{2}}$

Étape 19.1.2

Déplacez $- 6$ à gauche de $f$ .

$\frac{f^{2} - 6 \cdot f - 3 f - 3 \cdot - 6}{9 f^{2}}$

Étape 19.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 6$ .

$\frac{f^{2} - 6 f - 3 f + 18}{9 f^{2}}$

Étape 19.2

Soustrayez $3 f$ de $- 6 f$ .

$\frac{f^{2} - 9 f + 18}{9 f^{2}}$

Étape 20

Divisez la fraction $\frac{f^{2} - 9 f + 18}{9 f^{2}}$ en deux fractions.

$\frac{f^{2} - 9 f}{9 f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Étape 21

Divisez la fraction $\frac{f^{2} - 9 f}{9 f^{2}}$ en deux fractions.

$\frac{f^{2}}{9 f^{2}} + \frac{- 9 f}{9 f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Étape 22

Annulez le facteur commun de $f^{2}$ .

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Étape 22.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{f^{2}}{9 f^{2}} + \frac{- 9 f}{9 f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Étape 22.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{9} + \frac{- 9 f}{9 f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Étape 23

Annulez le facteur commun à $- 9$ et $9$ .

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Étape 23.1

Factorisez $9$ à partir de $- 9 f$ .

$\frac{1}{9} + \frac{9 (- f)}{9 f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Étape 23.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 23.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9 f^{2}$ .

$\frac{1}{9} + \frac{9 (- f)}{9 (f^{2})} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Étape 23.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{9} + \frac{9 (- f)}{9 f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Étape 23.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{9} + \frac{- f}{f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Étape 24

Annulez le facteur commun à $f$ et $f^{2}$ .

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Étape 24.1

Factorisez $f$ à partir de $- f$ .

$\frac{1}{9} + \frac{f \cdot - 1}{f^{2}} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Étape 24.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 24.2.1

Factorisez $f$ à partir de $f^{2}$ .

$\frac{1}{9} + \frac{f \cdot - 1}{f \cdot f} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Étape 24.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{9} + \frac{f \cdot - 1}{f \cdot f} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Étape 24.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{9} + \frac{- 1}{f} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Étape 25

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{9} - \frac{1}{f} + \frac{18}{9 f^{2}}$

Étape 26

Annulez le facteur commun à $18$ et $9$ .

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Étape 26.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$\frac{1}{9} - \frac{1}{f} + \frac{9 \cdot 2}{9 f^{2}}$

Étape 26.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 26.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9 f^{2}$ .

$\frac{1}{9} - \frac{1}{f} + \frac{9 \cdot 2}{9 (f^{2})}$

Étape 26.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{9} - \frac{1}{f} + \frac{9 \cdot 2}{9 f^{2}}$

Étape 26.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{9} - \frac{1}{f} + \frac{2}{f^{2}}$