Pré-algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{11} - \sqrt{2}}{\sqrt{11} + \sqrt{2}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{\sqrt{11} - \sqrt{2}}{\sqrt{11} + \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{11} - \sqrt{2}}{\sqrt{11} - \sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{11} - \sqrt{2}}{\sqrt{11} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{11} - \sqrt{2}}{\sqrt{11} - \sqrt{2}}$

Étape 2

Multipliez $\frac{\sqrt{11} - \sqrt{2}}{\sqrt{11} + \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{11} - \sqrt{2}}{\sqrt{11} - \sqrt{2}}$ .

$\frac{(\sqrt{11} - \sqrt{2}) (\sqrt{11} - \sqrt{2})}{(\sqrt{11} + \sqrt{2}) (\sqrt{11} - \sqrt{2})}$

Étape 3

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{11} - \sqrt{2}) (\sqrt{11} - \sqrt{2})}{{\sqrt{11}}^{2} - \sqrt{22} + \sqrt{22} - {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{11} - \sqrt{2}) (\sqrt{11} - \sqrt{2})}{9}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Élevez $\sqrt{11} - \sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{11} - \sqrt{2})}^{1} (\sqrt{11} - \sqrt{2})}{9}$

Étape 5.2

Élevez $\sqrt{11} - \sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{11} - \sqrt{2})}^{1} {(\sqrt{11} - \sqrt{2})}^{1}}{9}$

Étape 5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(\sqrt{11} - \sqrt{2})}^{1 + 1}}{9}$

Étape 5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(\sqrt{11} - \sqrt{2})}^{2}}{9}$

Étape 6

Réécrivez ${(\sqrt{11} - \sqrt{2})}^{2}$ comme $(\sqrt{11} - \sqrt{2}) (\sqrt{11} - \sqrt{2})$ .

$\frac{(\sqrt{11} - \sqrt{2}) (\sqrt{11} - \sqrt{2})}{9}$

Étape 7

Développez $(\sqrt{11} - \sqrt{2}) (\sqrt{11} - \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{11} (\sqrt{11} - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{11} - \sqrt{2})}{9}$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{11} + \sqrt{11} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{11} - \sqrt{2})}{9}$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{11} + \sqrt{11} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{11} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{9}$

Étape 8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{11 \cdot 11} + \sqrt{11} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{11} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{9}$

Étape 8.1.2

Multipliez $11$ par $11$ .

$\frac{\sqrt{121} + \sqrt{11} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{11} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{9}$

Étape 8.1.3

Réécrivez $121$ comme $11^{2}$ .

$\frac{\sqrt{11^{2}} + \sqrt{11} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{11} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{9}$

Étape 8.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{11 + \sqrt{11} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{11} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{9}$

Étape 8.1.5

Multipliez $\sqrt{11} (- \sqrt{2})$ .

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Étape 8.1.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{11 - \sqrt{11 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{11} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{9}$

Étape 8.1.5.2

Multipliez $11$ par $2$ .

$\frac{11 - \sqrt{22} - \sqrt{2} \sqrt{11} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{9}$

Étape 8.1.6

Multipliez $- \sqrt{2} \sqrt{11}$ .

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Étape 8.1.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{11 - \sqrt{22} - \sqrt{11 \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{9}$

Étape 8.1.6.2

Multipliez $11$ par $2$ .

$\frac{11 - \sqrt{22} - \sqrt{22} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{9}$

Étape 8.1.7

Multipliez $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Étape 8.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{11 - \sqrt{22} - \sqrt{22} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}}{9}$

Étape 8.1.7.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\frac{11 - \sqrt{22} - \sqrt{22} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{9}$

Étape 8.1.7.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{11 - \sqrt{22} - \sqrt{22} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{9}$

Étape 8.1.7.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{11 - \sqrt{22} - \sqrt{22} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{9}$

Étape 8.1.7.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{11 - \sqrt{22} - \sqrt{22} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{9}$

Étape 8.1.7.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{11 - \sqrt{22} - \sqrt{22} + {\sqrt{2}}^{2}}{9}$

Étape 8.1.8

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 8.1.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{11 - \sqrt{22} - \sqrt{22} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}$

Étape 8.1.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{11 - \sqrt{22} - \sqrt{22} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}$

Étape 8.1.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{11 - \sqrt{22} - \sqrt{22} + 2^{\frac{2}{2}}}{9}$

Étape 8.1.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.1.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{11 - \sqrt{22} - \sqrt{22} + 2^{\frac{2}{2}}}{9}$

Étape 8.1.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{11 - \sqrt{22} - \sqrt{22} + 2^{1}}{9}$

Étape 8.1.8.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{11 - \sqrt{22} - \sqrt{22} + 2}{9}$

Étape 8.2

Additionnez $11$ et $2$ .

$\frac{13 - \sqrt{22} - \sqrt{22}}{9}$

Étape 8.3

Soustrayez $\sqrt{22}$ de $- \sqrt{22}$ .

$\frac{13 - 2 \sqrt{22}}{9}$

Étape 9

Divisez la fraction $\frac{13 - 2 \sqrt{22}}{9}$ en deux fractions.

$\frac{13}{9} + \frac{- 2 \sqrt{22}}{9}$

Étape 10

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{13}{9} - \frac{2 \sqrt{22}}{9}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{13}{9} - \frac{2 \sqrt{22}}{9}$

Forme décimale :

$0.40212983 \dots$