Pré-algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + x y} \div \frac{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}{3 x^{2} + 6 x}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + x y} \cdot \frac{3 x^{2} + 6 x}{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}$

Étape 2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = y$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2} + x y} \cdot \frac{3 x^{2} + 6 x}{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}$

Étape 3

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + x y$ .

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Étape 3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x \cdot x + x y} \cdot \frac{3 x^{2} + 6 x}{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}$

Étape 3.2

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x \cdot x + x (y)} \cdot \frac{3 x^{2} + 6 x}{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}$

Étape 3.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x (y)$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x (x + y)} \cdot \frac{3 x^{2} + 6 x}{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $x + y$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + y) (x - y)}{x (x + y)} \cdot \frac{3 x^{2} + 6 x}{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x^{2} + 6 x}{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}$

Étape 5

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{2} + 6 x$ .

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Étape 5.1

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x) + 6 x}{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}$

Étape 5.2

Factorisez $3 x$ à partir de $6 x$ .

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x) + 3 x (2)}{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}$

Étape 5.3

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (x) + 3 x (2)$ .

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}$

Étape 6

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ et dont la somme est $b = - 2$ .

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Étape 6.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{3 x^{2} - y^{2} - 2 x y}$

Étape 6.1.2

Remettez dans l’ordre $- y^{2}$ et $- 2 x y$ .

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}$

Étape 6.1.3

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x y$ .

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{3 x^{2} - 2 (x y) - y^{2}}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $- 2$ comme $1$ plus $- 3$

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{3 x^{2} + (1 - 3) (x y) - y^{2}}$

Étape 6.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{3 x^{2} + 1 (x y) - 3 (x y) - y^{2}}$

Étape 6.1.6

Multipliez $x y$ par $1$ .

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{3 x^{2} + x y - 3 (x y) - y^{2}}$

Étape 6.1.7

Déplacez les parenthèses.

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{3 x^{2} + x y - 3 x y - y^{2}}$

Étape 6.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{(3 x^{2} + x y) - 3 x y - y^{2}}$

Étape 6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{x (3 x + y) - y (3 x + y)}$

Étape 6.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + y$ .

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{(3 x + y) (x - y)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $x - y$ .

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Étape 7.1

Factorisez $x - y$ à partir de $(3 x + y) (x - y)$ .

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{(x - y) (3 x + y)}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x - y}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{(x - y) (3 x + y)}$

Étape 7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{3 x (x + 2)}{3 x + y}$

Étape 8

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x (x + 2)$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{x (3 (x + 2))}{3 x + y}$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{x (3 (x + 2))}{3 x + y}$

Étape 8.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (x + 2)}{3 x + y}$

Étape 9

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x + 3 \cdot 2}{3 x + y}$

Étape 10

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{3 x + 6}{3 x + y}$

Étape 11

Divisez la fraction $\frac{3 x + 6}{3 x + y}$ en deux fractions.

$\frac{3 x}{3 x + y} + \frac{6}{3 x + y}$