Pré-algèbre Exemples

$\frac{\frac{\frac{p^{2} - 4 p - 5}{2 p^{2} - p - 1}}{p^{2} + p}}{p^{2} + p - 2}$

Étape 1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\frac{p^{2} - 4 p - 5}{2 p^{2} - p - 1}}{p^{2} + p} \cdot \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Étape 2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{p^{2} - 4 p - 5}{2 p^{2} - p - 1} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Étape 3

Factorisez $p^{2} - 4 p - 5$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 5$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 5, 1$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{2 p^{2} - p - 1} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Étape 4

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ et dont la somme est $b = - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- p$ .

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{2 p^{2} - (p) - 1} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Étape 4.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $1$ plus $- 2$

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{2 p^{2} + (1 - 2) p - 1} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{2 p^{2} + 1 p - 2 p - 1} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Étape 4.1.4

Multipliez $p$ par $1$ .

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{2 p^{2} + p - 2 p - 1} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{(2 p^{2} + p) - 2 p - 1} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{p (2 p + 1) - (2 p + 1)} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Étape 4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 p + 1$ .

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{p^{2} + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Étape 5

Factorisez $p$ à partir de $p^{2} + p$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Factorisez $p$ à partir de $p^{2}$ .

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{p \cdot p + p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Étape 5.2

Élevez $p$ à la puissance $1$ .

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{p \cdot p + p^{1}} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Étape 5.3

Factorisez $p$ à partir de $p^{1}$ .

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{p \cdot p + p \cdot 1} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Étape 5.4

Factorisez $p$ à partir de $p \cdot p + p \cdot 1$ .

$\frac{(p - 5) (p + 1)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{p (p + 1)} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $p + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Factorisez $p + 1$ à partir de $(p - 5) (p + 1)$ .

$\frac{(p + 1) (p - 5)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{p (p + 1)} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Étape 6.2

Factorisez $p + 1$ à partir de $p (p + 1)$ .

$\frac{(p + 1) (p - 5)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{(p + 1) p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(p + 1) (p - 5)}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{(p + 1) p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Étape 6.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1)} \cdot \frac{1}{p} \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Étape 7

Multipliez $\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1)}$ par $\frac{1}{p}$ .

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1) p} \cdot \frac{1}{p^{2} + p - 2}$

Étape 8

Factorisez $p^{2} + p - 2$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $1$ .

$- 1, 2$

Étape 8.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1) p} \cdot \frac{1}{(p - 1) (p + 2)}$

Étape 9

Multipliez $\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1) p} \cdot \frac{1}{(p - 1) (p + 2)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Multipliez $\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1) p}$ par $\frac{1}{(p - 1) (p + 2)}$ .

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1) p ((p - 1) (p + 2))}$

Étape 9.2

Élevez $p - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{1} (p - 1) (p + 2))}$

Étape 9.3

Élevez $p - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{1} {(p - 1)}^{1} (p + 2))}$

Étape 9.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{1 + 1} (p + 2))}$

Étape 9.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{2} (p + 2))}$

Étape 10

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Réécrivez.

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) (p - 1) p ((p - 1) (p + 2))}$

Étape 10.2

Élevez $p - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{1} (p - 1) (p + 2))}$

Étape 10.3

Élevez $p - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{1} {(p - 1)}^{1} (p + 2))}$

Étape 10.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{1 + 1} (p + 2))}$

Étape 10.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p ({(p - 1)}^{2} (p + 2))}$

Étape 10.6

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{p - 5}{(2 p + 1) p {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$

Étape 11

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{p - 5}{(2 p + 1) p {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$ .

$\frac{p - 5}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$

Étape 12

Divisez la fraction $\frac{p - 5}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$ en deux fractions.

$\frac{p}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)} + \frac{- 5}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$

Étape 13

Annulez le facteur commun de $p$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{p}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)} + \frac{- 5}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$

Étape 13.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{(2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)} + \frac{- 5}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$

Étape 14

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{(2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)} - \frac{5}{p (2 p + 1) {(p - 1)}^{2} (p + 2)}$