Pré-algèbre Exemples

$(\frac{4}{2 - x} + \frac{5}{x - 2}) \div (\frac{4}{x} + \frac{2}{x - 2})$

Étape 1

Réécrivez la division comme une fraction.

$\frac{\frac{4}{2 - x} + \frac{5}{x - 2}}{\frac{4}{x} + \frac{2}{x - 2}}$

Étape 2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(2 - x) (x - 2) x$ .

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\frac{4}{2 - x} + \frac{5}{x - 2}}{\frac{4}{x} + \frac{2}{x - 2}}$ par $\frac{(2 - x) (x - 2) x}{(2 - x) (x - 2) x}$ .

$\frac{(2 - x) (x - 2) x}{(2 - x) (x - 2) x} \cdot \frac{\frac{4}{2 - x} + \frac{5}{x - 2}}{\frac{4}{x} + \frac{2}{x - 2}}$

Étape 2.2

Associez.

$\frac{(2 - x) (x - 2) x (\frac{4}{2 - x} + \frac{5}{x - 2})}{(2 - x) (x - 2) x (\frac{4}{x} + \frac{2}{x - 2})}$

Étape 3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 - x) (x - 2) x \frac{4}{2 - x} + (2 - x) (x - 2) x \frac{5}{x - 2}}{(2 - x) (x - 2) x \frac{4}{x} + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Étape 4

Simplifiez en annulant.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $2 - x$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $2 - x$ à partir de $(2 - x) (x - 2) x$ .

$\frac{(2 - x) ((x - 2) x) \frac{4}{2 - x} + (2 - x) (x - 2) x \frac{5}{x - 2}}{(2 - x) (x - 2) x \frac{4}{x} + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Étape 4.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 - x) ((x - 2) x) \frac{4}{2 - x} + (2 - x) (x - 2) x \frac{5}{x - 2}}{(2 - x) (x - 2) x \frac{4}{x} + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Étape 4.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) (x - 2) x \frac{5}{x - 2}}{(2 - x) (x - 2) x \frac{4}{x} + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $x - 2$ à partir de $(2 - x) (x - 2) x$ .

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (x - 2) ((2 - x) x) \frac{5}{x - 2}}{(2 - x) (x - 2) x \frac{4}{x} + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (x - 2) ((2 - x) x) \frac{5}{x - 2}}{(2 - x) (x - 2) x \frac{4}{x} + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{(2 - x) (x - 2) x \frac{4}{x} + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $x$ à partir de $(2 - x) (x - 2) x$ .

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{x ((2 - x) (x - 2)) \frac{4}{x} + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{x ((2 - x) (x - 2)) \frac{4}{x} + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Étape 4.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{(2 - x) (x - 2) \cdot 4 + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Étape 4.4

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{(- 1 (- 2) - x) (x - 2) \cdot 4 + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Étape 4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{(- 1 (- 2) - (x)) (x - 2) \cdot 4 + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Étape 4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 2) - (x)$ .

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{- 1 (- 2 + x) (x - 2) \cdot 4 + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Étape 4.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{- 1 (x - 2) (x - 2) \cdot 4 + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Étape 4.8

Élevez $x - 2$ à la puissance $1$ .

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{- 1 ({(x - 2)}^{1} (x - 2)) \cdot 4 + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Étape 4.9

Élevez $x - 2$ à la puissance $1$ .

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{- 1 ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1}) \cdot 4 + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Étape 4.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{- 1 {(x - 2)}^{1 + 1} \cdot 4 + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Étape 4.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{- 1 {(x - 2)}^{2} \cdot 4 + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Étape 4.12

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) (x - 2) x \frac{2}{x - 2}}$

Étape 4.13

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 4.13.1

Factorisez $x - 2$ à partir de $(2 - x) (x - 2) x$ .

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (x - 2) ((2 - x) x) \frac{2}{x - 2}}$

Étape 4.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (x - 2) ((2 - x) x) \frac{2}{x - 2}}$

Étape 4.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Factorisez $x$ à partir de $(x - 2) x \cdot 4 + (2 - x) x \cdot 5$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $x$ à partir de $(x - 2) x \cdot 4$ .

$\frac{x ((x - 2) \cdot 4) + (2 - x) x \cdot 5}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2}$

Étape 5.1.2

Factorisez $x$ à partir de $(2 - x) x \cdot 5$ .

$\frac{x ((x - 2) \cdot 4) + x ((2 - x) \cdot 5)}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2}$

Étape 5.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x ((x - 2) \cdot 4) + x ((2 - x) \cdot 5)$ .

$\frac{x ((x - 2) \cdot 4 + (2 - x) \cdot 5)}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x \cdot 4 - 2 \cdot 4 + (2 - x) \cdot 5)}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2}$

Étape 5.3

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\frac{x (4 \cdot x - 2 \cdot 4 + (2 - x) \cdot 5)}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2}$

Étape 5.4

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$\frac{x (4 \cdot x - 8 + (2 - x) \cdot 5)}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2}$

Étape 5.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (4 x - 8 + 2 \cdot 5 - x \cdot 5)}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2}$

Étape 5.6

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{x (4 x - 8 + 10 - x \cdot 5)}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2}$

Étape 5.7

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{x (4 x - 8 + 10 - 5 x)}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2}$

Étape 5.8

Soustrayez $5 x$ de $4 x$ .

$\frac{x (- x - 8 + 10)}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2}$

Étape 5.9

Additionnez $- 8$ et $10$ .

$\frac{x (- x + 2)}{- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2}$

Étape 6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x \cdot 2$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 {(x - 2)}^{2}) + (2 - x) x \cdot 2}$

Étape 6.1.2

Factorisez $2$ à partir de $(2 - x) x \cdot 2$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 {(x - 2)}^{2}) + 2 \cdot ((2 - x) x)}$

Étape 6.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 2 {(x - 2)}^{2}) + 2 \cdot ((2 - x) x)$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 {(x - 2)}^{2} + (2 - x) x)}$

Étape 6.2

Réécrivez ${(x - 2)}^{2}$ comme $(x - 2) (x - 2)$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 ((x - 2) (x - 2)) + (2 - x) x)}$

Étape 6.3

Développez $(x - 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) + (2 - x) x)}$

Étape 6.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) + (2 - x) x)}$

Étape 6.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + (2 - x) x)}$

Étape 6.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + (2 - x) x)}$

Étape 6.4.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) + (2 - x) x)}$

Étape 6.4.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) + (2 - x) x)}$

Étape 6.4.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 (x^{2} - 4 x + 4) + (2 - x) x)}$

Étape 6.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 x^{2} - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 4 + (2 - x) x)}$

Étape 6.6

Simplifiez

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Étape 6.6.1

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 x^{2} + 8 x - 2 \cdot 4 + (2 - x) x)}$

Étape 6.6.2

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 x^{2} + 8 x - 8 + (2 - x) x)}$

Étape 6.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 x^{2} + 8 x - 8 + 2 x - x \cdot x)}$

Étape 6.8

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.8.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 x^{2} + 8 x - 8 + 2 x - (x \cdot x))}$

Étape 6.8.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 2 x^{2} + 8 x - 8 + 2 x - x^{2})}$

Étape 6.9

Soustrayez $x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 3 x^{2} + 8 x - 8 + 2 x)}$

Étape 6.10

Additionnez $8 x$ et $2 x$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 3 x^{2} + 10 x - 8)}$

Étape 6.11

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.11.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 3 \cdot - 8 = 24$ et dont la somme est $b = 10$ .

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Étape 6.11.1.1

Factorisez $10$ à partir de $10 x$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 3 x^{2} + 10 (x) - 8)}$

Étape 6.11.1.2

Réécrivez $10$ comme $4$ plus $6$

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 3 x^{2} + (4 + 6) x - 8)}$

Étape 6.11.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 3 x^{2} + 4 x + 6 x - 8)}$

Étape 6.11.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.11.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{x (- x + 2)}{2 ((- 3 x^{2} + 4 x) + 6 x - 8)}$

Étape 6.11.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (- x + 2)}{2 (x (- 3 x + 4) - 2 (- 3 x + 4))}$

Étape 6.11.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 3 x + 4$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2 ((- 3 x + 4) (x - 2))}$

$\frac{x (- x + 2)}{2 (- 3 x + 4) (x - 2)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun à $- x + 2$ et $x - 2$ .

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Étape 7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{x (- (x) + 2)}{2 (- 3 x + 4) (x - 2)}$

Étape 7.2

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{x (- (x) - 1 (- 2))}{2 (- 3 x + 4) (x - 2)}$

Étape 7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{x (- (x - 2))}{2 (- 3 x + 4) (x - 2)}$

Étape 7.4

Réécrivez $- (x - 2)$ comme $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{x (- 1 (x - 2))}{2 (- 3 x + 4) (x - 2)}$

Étape 7.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (- 1 (x - 2))}{2 (- 3 x + 4) (x - 2)}$

Étape 7.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \cdot (- 1)}{2 (- 3 x + 4)}$

Étape 8

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{2 (- 3 x + 4)}$

Étape 9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x}{2 (- 3 x + 4)}$

Étape 10

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x$ .

$- \frac{x}{2 (- (3 x) + 4)}$

Étape 11

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$- \frac{x}{2 (- (3 x) - 1 (- 4))}$

Étape 12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x) - 1 (- 4)$ .

$- \frac{x}{2 (- (3 x - 4))}$

Étape 13

Réécrivez $- (3 x - 4)$ comme $- 1 (3 x - 4)$ .

$- \frac{x}{2 (- 1 (3 x - 4))}$

Étape 14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{x}{2 (3 x - 4)}$

Étape 15

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{x}{2 (3 x - 4)}$

Étape 16

Multipliez $\frac{x}{2 (3 x - 4)}$ par $1$ .

$\frac{x}{2 (3 x - 4)}$