Pré-algèbre Exemples

$(\frac{2}{x + 2} + \frac{10}{x + 5}) \div \frac{7 x + 20}{x^{2} + 7 x + 10}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$(\frac{2}{x + 2} + \frac{10}{x + 5}) \frac{x^{2} + 7 x + 10}{7 x + 20}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} + 7 x + 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $10$ et dont la somme est $7$ .

$2, 5$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(\frac{2}{x + 2} + \frac{10}{x + 5}) \frac{(x + 2) (x + 5)}{7 x + 20}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{2}{x + 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$(\frac{2}{x + 2} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} + \frac{10}{x + 5}) \frac{(x + 2) (x + 5)}{7 x + 20}$

Étape 4

Pour écrire $\frac{10}{x + 5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$(\frac{2}{x + 2} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} + \frac{10}{x + 5} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}) \frac{(x + 2) (x + 5)}{7 x + 20}$

Étape 5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 2) (x + 5)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{2}{x + 2}$ par $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$(\frac{2 (x + 5)}{(x + 2) (x + 5)} + \frac{10}{x + 5} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}) \frac{(x + 2) (x + 5)}{7 x + 20}$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{10}{x + 5}$ par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$(\frac{2 (x + 5)}{(x + 2) (x + 5)} + \frac{10 (x + 2)}{(x + 5) (x + 2)}) \frac{(x + 2) (x + 5)}{7 x + 20}$

Étape 5.3

Réorganisez les facteurs de $(x + 5) (x + 2)$ .

$(\frac{2 (x + 5)}{(x + 2) (x + 5)} + \frac{10 (x + 2)}{(x + 2) (x + 5)}) \frac{(x + 2) (x + 5)}{7 x + 20}$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (x + 5) + 10 (x + 2)}{(x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{7 x + 20}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Factorisez $2$ à partir de $2 (x + 5) + 10 (x + 2)$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $2$ à partir de $10 (x + 2)$ .

$\frac{2 (x + 5) + 2 (5 (x + 2))}{(x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{7 x + 20}$

Étape 7.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 (x + 5) + 2 (5 (x + 2))$ .

$\frac{2 (x + 5 + 5 (x + 2))}{(x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{7 x + 20}$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x + 5 + 5 x + 5 \cdot 2)}{(x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{7 x + 20}$

Étape 7.3

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{2 (x + 5 + 5 x + 10)}{(x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{7 x + 20}$

Étape 7.4

Additionnez $x$ et $5 x$ .

$\frac{2 (6 x + 5 + 10)}{(x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{7 x + 20}$

Étape 7.5

Additionnez $5$ et $10$ .

$\frac{2 (6 x + 15)}{(x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{7 x + 20}$

Étape 7.6

Factorisez $3$ à partir de $6 x + 15$ .

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Étape 7.6.1

Factorisez $3$ à partir de $6 x$ .

$\frac{2 (3 (2 x) + 15)}{(x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{7 x + 20}$

Étape 7.6.2

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$\frac{2 (3 (2 x) + 3 (5))}{(x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{7 x + 20}$

Étape 7.6.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (2 x) + 3 (5)$ .

$\frac{2 (3 (2 x + 5))}{(x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{7 x + 20}$

$\frac{2 \cdot 3 (2 x + 5)}{(x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{7 x + 20}$

Étape 7.7

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 (2 x + 5)}{(x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{7 x + 20}$

Étape 8

Annulez le facteur commun de $(x + 2) (x + 5)$ .

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (2 x + 5)}{(x + 2) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 5)}{7 x + 20}$

Étape 8.2

Réécrivez l’expression.

$6 (2 x + 5) \frac{1}{7 x + 20}$

Étape 9

Associez $\frac{1}{7 x + 20}$ et $6$ .

$\frac{6}{7 x + 20} (2 x + 5)$

Étape 10

Multipliez $\frac{6}{7 x + 20}$ par $2 x + 5$ .

$\frac{6 (2 x + 5)}{7 x + 20}$