Pré-algèbre Exemples

${(1 - \sqrt{3} i)}^{4}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

$1^{4} + 4 \cdot 1^{3} (- \sqrt{3} i) + 6 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 4 \cdot 1^{3} (- \sqrt{3} i) + 6 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Étape 2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 4 \cdot 1 (- \sqrt{3} i) + 6 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Étape 2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$1 + 4 (- \sqrt{3} i) + 6 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Étape 2.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$1 - 4 (\sqrt{3} i) + 6 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Étape 2.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Étape 2.6

Multipliez $6$ par $1$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Étape 2.7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.7.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3} i$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 ({(- \sqrt{3})}^{2} i^{2}) + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Étape 2.7.2

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} i^{2}) + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Étape 2.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 (1 {\sqrt{3}}^{2} i^{2}) + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Étape 2.9

Multipliez ${\sqrt{3}}^{2}$ par $1$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2}) + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Étape 2.10

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 ({(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}) + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Étape 2.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 (3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}) + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Étape 2.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 (3^{\frac{2}{2}} i^{2}) + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Étape 2.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.10.4.1

Annulez le facteur commun.

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 (3^{\frac{2}{2}} i^{2}) + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Étape 2.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 (3^{1} i^{2}) + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Étape 2.10.5

Évaluez l’exposant.

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 (3 i^{2}) + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Étape 2.11

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 (3 \cdot - 1) + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Étape 2.12

Multipliez $6 (3 \cdot - 1)$ .

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Étape 2.12.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i + 6 \cdot - 3 + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Étape 2.12.2

Multipliez $6$ par $- 3$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Étape 2.13

Multipliez $4$ par $1$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Étape 2.14

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.14.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3} i$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 ({(- \sqrt{3})}^{3} i^{3}) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Étape 2.14.2

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3} i^{3}) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Étape 2.15

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 (- {\sqrt{3}}^{3} i^{3}) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Étape 2.16

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 (- \sqrt{3^{3}} i^{3}) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Étape 2.17

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 (- \sqrt{27} i^{3}) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Étape 2.18

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.18.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 (- \sqrt{9 (3)} i^{3}) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Étape 2.18.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 (- \sqrt{3^{2} \cdot 3} i^{3}) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Étape 2.19

Extrayez les termes de sous le radical.

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 (- (3 \sqrt{3}) i^{3}) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Étape 2.20

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 (- 3 \sqrt{3} i^{3}) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Étape 2.21

Factorisez $i^{2}$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 (- 3 \sqrt{3} (i^{2} \cdot i)) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Étape 2.22

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 (- 3 \sqrt{3} (- 1 \cdot i)) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Étape 2.23

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 (- 3 \sqrt{3} (- i)) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Étape 2.24

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 4 (3 \sqrt{3} i) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Étape 2.25

Multipliez $3$ par $4$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 (\sqrt{3} i) + {(- \sqrt{3} i)}^{4}$

Étape 2.26

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.26.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3} i$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + {(- \sqrt{3})}^{4} i^{4}$

Étape 2.26.2

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + {(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4} i^{4}$

Étape 2.27

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 1 {\sqrt{3}}^{4} i^{4}$

Étape 2.28

Multipliez ${\sqrt{3}}^{4}$ par $1$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{4} i^{4}$

Étape 2.29

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

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Étape 2.29.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} i^{4}$

Étape 2.29.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} i^{4}$

Étape 2.29.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 3^{\frac{4}{2}} i^{4}$

Étape 2.29.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.29.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} i^{4}$

Étape 2.29.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.29.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} i^{4}$

Étape 2.29.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} i^{4}$

Étape 2.29.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 3^{\frac{2}{1}} i^{4}$

Étape 2.29.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 3^{2} i^{4}$

Étape 2.30

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 9 i^{4}$

Étape 2.31

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.31.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 9 {(i^{2})}^{2}$

Étape 2.31.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 9 {(- 1)}^{2}$

Étape 2.31.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 9 \cdot 1$

Étape 2.32

Multipliez $9$ par $1$ .

$1 - 4 \sqrt{3} i - 18 + 12 \sqrt{3} i + 9$

Étape 3

Soustrayez $18$ de $1$ .

$- 4 \sqrt{3} i - 17 + 12 \sqrt{3} i + 9$

Étape 4

Additionnez $- 4 \sqrt{3} i$ et $12 \sqrt{3} i$ .

$8 \sqrt{3} i - 17 + 9$

Étape 5

Additionnez $- 17$ et $9$ .

$8 \sqrt{3} i - 8$

Étape 6

Remettez dans l’ordre $8 \sqrt{3} i$ et $- 8$ .

$- 8 + 8 \sqrt{3} i$