Pré-algèbre Exemples

${(\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{19}}{6} \cdot i)}^{2}$

Étape 1

Associez $\frac{\sqrt{19}}{6}$ et $i$ .

${(\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6})}^{2}$

Étape 2

Réécrivez ${(\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6})}^{2}$ comme $(\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6}) (\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6})$ .

$(\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6}) (\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6})$

Étape 3

Développez $(\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6}) (\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{6} (\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6}) + \frac{\sqrt{19} i}{6} (\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6})$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{19} i}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6} (\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6})$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{19} i}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6} \cdot \frac{\sqrt{19} i}{6}$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}$ .

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Étape 4.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{6 \cdot 6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{19} i}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6} \cdot \frac{\sqrt{19} i}{6}$

Étape 4.1.1.2

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{1}{36} + \frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{19} i}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6} \cdot \frac{\sqrt{19} i}{6}$

Étape 4.1.2

Multipliez $\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{19} i}{6}$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $\frac{\sqrt{19} i}{6}$ .

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{6 \cdot 6} + \frac{\sqrt{19} i}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6} \cdot \frac{\sqrt{19} i}{6}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{19} i}{6} \cdot \frac{\sqrt{19} i}{6}$

Étape 4.1.3

Multipliez $\frac{\sqrt{19} i}{6} \cdot \frac{1}{6}$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{19} i}{6}$ par $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{6 \cdot 6} + \frac{\sqrt{19} i}{6} \cdot \frac{\sqrt{19} i}{6}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{6} \cdot \frac{\sqrt{19} i}{6}$

Étape 4.1.4

Multipliez $\frac{\sqrt{19} i}{6} \cdot \frac{\sqrt{19} i}{6}$ .

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Étape 4.1.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{19} i}{6}$ par $\frac{\sqrt{19} i}{6}$ .

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i (\sqrt{19} i)}{6 \cdot 6}$

Étape 4.1.4.2

Élevez $\sqrt{19}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{{\sqrt{19}}^{1} \sqrt{19} i i}{6 \cdot 6}$

Étape 4.1.4.3

Élevez $\sqrt{19}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{{\sqrt{19}}^{1} {\sqrt{19}}^{1} i i}{6 \cdot 6}$

Étape 4.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{{\sqrt{19}}^{1 + 1} i i}{6 \cdot 6}$

Étape 4.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{{\sqrt{19}}^{2} i i}{6 \cdot 6}$

Étape 4.1.4.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{{\sqrt{19}}^{2} (i^{1} i)}{6 \cdot 6}$

Étape 4.1.4.7

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{{\sqrt{19}}^{2} (i^{1} i^{1})}{6 \cdot 6}$

Étape 4.1.4.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{{\sqrt{19}}^{2} i^{1 + 1}}{6 \cdot 6}$

Étape 4.1.4.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{{\sqrt{19}}^{2} i^{2}}{6 \cdot 6}$

Étape 4.1.4.10

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{{\sqrt{19}}^{2} i^{2}}{36}$

Étape 4.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.5.1

Réécrivez ${\sqrt{19}}^{2}$ comme $19$ .

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Étape 4.1.5.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{19}$ comme $19^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{{(19^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}}{36}$

Étape 4.1.5.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{19^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}}{36}$

Étape 4.1.5.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{19^{\frac{2}{2}} i^{2}}{36}$

Étape 4.1.5.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.5.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{19^{\frac{2}{2}} i^{2}}{36}$

Étape 4.1.5.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{19^{1} i^{2}}{36}$

Étape 4.1.5.1.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{19 i^{2}}{36}$

Étape 4.1.5.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{19 \cdot - 1}{36}$

Étape 4.1.6

Multipliez $19$ par $- 1$ .

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{- 19}{36}$

Étape 4.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} - \frac{19}{36}$

Étape 4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 19}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36}$

Étape 4.3

Soustrayez $19$ de $1$ .

$\frac{- 18}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36} + \frac{\sqrt{19} i}{36}$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 18}{36} + \frac{2 \sqrt{19} i}{36}$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun à $- 18$ et $36$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $18$ à partir de $- 18$ .

$\frac{18 (- 1)}{36} + \frac{2 \sqrt{19} i}{36}$

Étape 5.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.2.1

Factorisez $18$ à partir de $36$ .

$\frac{18 \cdot - 1}{18 \cdot 2} + \frac{2 \sqrt{19} i}{36}$

Étape 5.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{18 \cdot - 1}{18 \cdot 2} + \frac{2 \sqrt{19} i}{36}$

Étape 5.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{2} + \frac{2 \sqrt{19} i}{36}$

Étape 5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} + \frac{2 \sqrt{19} i}{36}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $36$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{19} i$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{2 (\sqrt{19} i)}{36}$

Étape 5.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $36$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{2 (\sqrt{19} i)}{2 \cdot 18}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{2} + \frac{2 (\sqrt{19} i)}{2 \cdot 18}$

Étape 5.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{19} i}{18}$