Pré-algèbre Exemples

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \div \frac{{(a + b)}^{2}}{2 a^{2} + a b - b^{2}}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{2 a^{2} + a b - b^{2}}{{(a + b)}^{2}}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 2.1.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{2 a^{2} - b^{2} + a b}{{(a + b)}^{2}}$

Étape 2.1.1.2

Remettez dans l’ordre $- b^{2}$ et $a b$ .

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{2 a^{2} + a b - b^{2}}{{(a + b)}^{2}}$

Étape 2.1.1.3

Factorisez $1$ à partir de $a b$ .

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{2 a^{2} + 1 (a b) - b^{2}}{{(a + b)}^{2}}$

Étape 2.1.1.4

Réécrivez $1$ comme $- 1$ plus $2$

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{2 a^{2} + (- 1 + 2) (a b) - b^{2}}{{(a + b)}^{2}}$

Étape 2.1.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{2 a^{2} - 1 (a b) + 2 (a b) - b^{2}}{{(a + b)}^{2}}$

Étape 2.1.1.6

Déplacez les parenthèses.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{2 a^{2} - 1 a b + 2 a b - b^{2}}{{(a + b)}^{2}}$

Étape 2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{(2 a^{2} - 1 a b) + 2 a b - b^{2}}{{(a + b)}^{2}}$

Étape 2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{a (2 a - 1 b) + b (2 a - b)}{{(a + b)}^{2}}$

Étape 2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 a - 1 b$ .

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{(2 a - 1 b) (a + b)}{{(a + b)}^{2}}$

Étape 2.2

Réécrivez $- 1 b$ comme $- b$ .

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{b - 2 a}) \frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2}}$

Étape 3

Factorisez $- 1$ à partir de $b$ .

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{- 1 (- b) - 2 a}) \frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2}}$

Étape 4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 a$ .

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{- 1 (- b) - (2 a)}) \frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2}}$

Étape 5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- b) - (2 a)$ .

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{b^{2}}{- 1 (- b + 2 a)}) \frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2}}$

Étape 6

Faites passer un signe négatif du dénominateur de $\frac{b^{2}}{- 1 (- b + 2 a)}$ au numérateur.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{- b^{2}}{- b + 2 a}) \frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2}}$

Étape 7

Remettez les termes dans l’ordre.

$(\frac{a^{2}}{2 a - b} + \frac{- b^{2}}{2 a - b}) \frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2}}$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{a^{2} - b^{2}}{2 a - b} \cdot \frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2}}$

Étape 9

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = b$ .

$\frac{(a + b) (a - b)}{2 a - b} \cdot \frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2}}$

Étape 10

Annulez le facteur commun de $a + b$ .

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Étape 10.1

Factorisez $a + b$ à partir de ${(a + b)}^{2}$ .

$\frac{(a + b) (a - b)}{2 a - b} \cdot \frac{(2 a - b) (a + b)}{(a + b) (a + b)}$

Étape 10.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a + b) (a - b)}{2 a - b} \cdot \frac{(2 a - b) (a + b)}{(a + b) (a + b)}$

Étape 10.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{a - b}{2 a - b} \cdot \frac{(2 a - b) (a + b)}{a + b}$

Étape 11

Annulez le facteur commun de $2 a - b$ .

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Étape 11.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a - b}{2 a - b} \cdot \frac{(2 a - b) (a + b)}{a + b}$

Étape 11.2

Réécrivez l’expression.

$(a - b) \frac{a + b}{a + b}$

Étape 12

Annulez le facteur commun de $a + b$ .

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Étape 12.1

Annulez le facteur commun.

$(a - b) \frac{a + b}{a + b}$

Étape 12.2

Réécrivez l’expression.

$(a - b) \cdot 1$

Étape 13

Multipliez $a - b$ par $1$ .

$a - b$