Pré-algèbre Exemples

$\frac{3 m^{2} (m + 4)}{(m + 3) (m - 5)}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ est indéfinie.

$x = - 3, x = 5$

Étape 2

Comme $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- 3$ depuis la gauche et $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $- 3$ depuis la droite, $x = - 3$ est une asymptote verticale.

$x = - 3$

Étape 3

Comme $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $5$ depuis la gauche et $\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x + 3) (x - 5)}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $5$ depuis la droite, $x = 5$ est une asymptote verticale.

$x = 5$

Étape 4

Indiquez toutes les asymptotes verticales :

$x = - 3, 5$

Étape 5

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 6

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Étape 7

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 8

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 8.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.1.1

Factorisez $3 x^{2}$ à partir de $3 x^{3} + 12 x^{2}$ .

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Étape 8.1.1.1

Factorisez $3 x^{2}$ à partir de $3 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{2} (x) + 12 x^{2}}{x^{2} - 2 x - 15}$

Étape 8.1.1.2

Factorisez $3 x^{2}$ à partir de $12 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} (x) + 3 x^{2} (4)}{x^{2} - 2 x - 15}$

Étape 8.1.1.3

Factorisez $3 x^{2}$ à partir de $3 x^{2} (x) + 3 x^{2} (4)$ .

$\frac{3 x^{2} (x + 4)}{x^{2} - 2 x - 15}$

Étape 8.1.2

Factorisez $x^{2} - 2 x - 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 8.1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 15$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 5, 3$

Étape 8.1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{3 x^{2} (x + 4)}{(x - 5) (x + 3)}$

Étape 8.2

Développez $3 x^{2} (x + 4)$ .

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Étape 8.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} x + 3 x^{2} \cdot 4}{(x - 5) (x + 3)}$

Étape 8.2.2

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} x + 3 \cdot (4 x^{2})}{(x - 5) (x + 3)}$

Étape 8.2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + 3 \cdot (4 x^{2})}{(x - 5) (x + 3)}$

Étape 8.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{2 + 1} + 3 \cdot (4 x^{2})}{(x - 5) (x + 3)}$

Étape 8.2.5

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 3 \cdot (4 x^{2})}{(x - 5) (x + 3)}$

Étape 8.2.6

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{(x - 5) (x + 3)}$

Étape 8.3

Développez $(x - 5) (x + 3)$ .

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Étape 8.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x (x + 3) - 5 (x + 3)}$

Étape 8.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + x \cdot 3 - 5 (x + 3)}$

Étape 8.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + x \cdot 3 - 5 x - 5 \cdot 3}$

Étape 8.3.4

Remettez dans l’ordre $x$ et $3$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

Étape 8.3.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

Étape 8.3.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x \cdot x + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

Étape 8.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{1 + 1} + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

Étape 8.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{2} + 3 x - 5 x - 5 \cdot 3}$

Étape 8.3.9

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{2} + 3 x - 5 x - 15}$

Étape 8.3.10

Soustrayez $5 x$ de $3 x$ .

$\frac{3 x^{3} + 12 x^{2}}{x^{2} - 2 x - 15}$

Étape 8.4

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

Étape 8.5

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

Étape 8.6

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

Étape 8.7

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x^{3} - 6 x^{2} - 45 x$

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

Étape 8.8

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

Étape 8.9

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$3 x$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

Étape 8.10

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $18 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$3 x$

$18$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

Étape 8.11

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$3 x$

$18$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

$18 x^{2}$

$36 x$

$270$

Étape 8.12

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $18 x^{2} - 36 x - 270$

$3 x$

$18$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

$18 x^{2}$

$36 x$

$270$

Étape 8.13

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$3 x$

$18$

$x^{2}$

$2 x$

$15$

$3 x^{3}$

$12 x^{2}$

$0 x$

$0$

$3 x^{3}$

$6 x^{2}$

$45 x$

$18 x^{2}$

$45 x$

$0$

$18 x^{2}$

$36 x$

$270$

$81 x$

$270$

Étape 8.14

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$3 x + 18 + \frac{81 x + 270}{x^{2} - 2 x - 15}$

Étape 8.15

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = 3 x + 18$

Étape 9

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - 3, 5$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = 3 x + 18$

Étape 10