Pré-algèbre Exemples

$\frac{{(x - 9)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 10)}^{2}}{7} = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x - 9)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 10)}^{2}}{7} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 3$

$b = \sqrt{7}$

$k = 10$

$h = 9$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(9, 10)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(\sqrt{7})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{9 + {(\sqrt{7})}^{2}}$

Étape 5.3.2

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 5.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{9 + {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{9 + 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{9 + 7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{9 + 7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{9 + 7^{1}}$

Étape 5.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{9 + 7}$

Étape 5.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.1

Additionnez $9$ et $7$ .

$\sqrt{16}$

Étape 5.3.3.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2}}$

Étape 5.3.3.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$4$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(12, 10)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(6, 10)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm a, k)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(12, 10), (6, 10)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(13, 10)$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(5, 10)$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(13, 10), (5, 10)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(\sqrt{7})}^{2}}}{3}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + {\sqrt{7}}^{2}}}{3}$

Étape 8.3.2

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 8.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{9 + {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{3}$

Étape 8.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{9 + 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{3}$

Étape 8.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 7^{\frac{2}{2}}}}{3}$

Étape 8.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{9 + 7^{\frac{2}{2}}}}{3}$

Étape 8.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{9 + 7^{1}}}{3}$

Étape 8.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{9 + 7}}{3}$

Étape 8.3.3

Additionnez $9$ et $7$ .

$\frac{\sqrt{16}}{3}$

Étape 8.3.4

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{3}$

Étape 8.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{4}{3}$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{{\sqrt{7}}^{2}}{4}$

Étape 9.3

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 9.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Étape 9.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Étape 9.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{7^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 9.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 9.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{7^{1}}{4}$

Étape 9.3.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{7}{4}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ car cette hyperbole ouvre vers la gauche et vers la droite.

$y = \pm \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (x - (9)) + 10$

Étape 11

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (x - (9)) + 10$

Étape 11.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$y = \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (x - 9) + 10$

Étape 11.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{\sqrt{7}}{3} x + \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot - 9 + 10$

Étape 11.2.3

Associez $\frac{\sqrt{7}}{3}$ et $x$ .

$y = \frac{\sqrt{7} x}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot - 9 + 10$

Étape 11.2.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 11.2.4.1

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$y = \frac{\sqrt{7} x}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (3 (- 3)) + 10$

Étape 11.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\sqrt{7} x}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (3 \cdot - 3) + 10$

Étape 11.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt{7} x}{3} + \sqrt{7} \cdot - 3 + 10$

Étape 11.2.5

Déplacez $- 3$ à gauche de $\sqrt{7}$ .

$y = \frac{\sqrt{7} x}{3} - 3 \sqrt{7} + 10$

Étape 12

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

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Étape 12.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (x - (9)) + 10$

Étape 12.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$y = - \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (x - 9) + 10$

Étape 12.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{\sqrt{7}}{3} x - \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot - 9 + 10$

Étape 12.2.3

Associez $x$ et $\frac{\sqrt{7}}{3}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot - 9 + 10$

Étape 12.2.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 12.2.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{7}}{3}$ dans le numérateur.

$y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} + \frac{- \sqrt{7}}{3} \cdot - 9 + 10$

Étape 12.2.4.2

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} + \frac{- \sqrt{7}}{3} \cdot (3 (- 3)) + 10$

Étape 12.2.4.3

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} + \frac{- \sqrt{7}}{3} \cdot (3 \cdot - 3) + 10$

Étape 12.2.4.4

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} - \sqrt{7} \cdot - 3 + 10$

Étape 12.2.5

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} + 3 \sqrt{7} + 10$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{\sqrt{7} x}{3} - 3 \sqrt{7} + 10, y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} + 3 \sqrt{7} + 10$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(9, 10)$

Sommets : $(12, 10), (6, 10)$

Foyers : $(13, 10), (5, 10)$

Excentricité : $\frac{4}{3}$

Paramètre focal : $\frac{7}{4}$

Asymptotes : $y = \frac{\sqrt{7} x}{3} - 3 \sqrt{7} + 10$ , $y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} + 3 \sqrt{7} + 10$

Étape 15