Pré-algèbre Exemples

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{25} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{75} = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{25} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{75} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 5$

$b = 5 \sqrt{3}$

$k = 2$

$h = 5$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(5, 2)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(5)}^{2} + {(5 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{25 + {(5 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 5.3.1.2

Appliquez la règle de produit à $5 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{25 + 5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 5.3.1.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{25 + 25 {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 5.3.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 5.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{25 + 25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{1}}$

Étape 5.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{25 + 25 \cdot 3}$

Étape 5.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $25$ par $3$ .

$\sqrt{25 + 75}$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $25$ et $75$ .

$\sqrt{100}$

Étape 5.3.3.3

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$\sqrt{10^{2}}$

Étape 5.3.3.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$10$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(10, 2)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(0, 2)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm a, k)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(10, 2), (0, 2)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(15, 2)$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 5, 2)$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(15, 2), (- 5, 2)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} + {(5 \sqrt{3})}^{2}}}{5}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + {(5 \sqrt{3})}^{2}}}{5}$

Étape 8.3.1.2

Appliquez la règle de produit à $5 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{25 + 5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}}{5}$

Étape 8.3.1.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 25 {\sqrt{3}}^{2}}}{5}$

Étape 8.3.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 8.3.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{25 + 25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{5}$

Étape 8.3.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{5}$

Étape 8.3.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{5}$

Étape 8.3.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{5}$

Étape 8.3.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{1}}}{5}$

Étape 8.3.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{25 + 25 \cdot 3}}{5}$

Étape 8.3.1.5

Multipliez $25$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{25 + 75}}{5}$

Étape 8.3.1.6

Additionnez $25$ et $75$ .

$\frac{\sqrt{100}}{5}$

Étape 8.3.1.7

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$\frac{\sqrt{10^{2}}}{5}$

Étape 8.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{10}{5}$

Étape 8.3.2

Divisez $10$ par $5$ .

$2$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{5 {\sqrt{3}}^{2}}{10}$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Annulez le facteur commun à $5$ et $10$ .

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Étape 9.3.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 {\sqrt{3}}^{2}$ .

$\frac{5 ({\sqrt{3}}^{2})}{10}$

Étape 9.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$\frac{5 {\sqrt{3}}^{2}}{5 \cdot 2}$

Étape 9.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 {\sqrt{3}}^{2}}{5 \cdot 2}$

Étape 9.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2}$

Étape 9.3.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 9.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Étape 9.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Étape 9.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Étape 9.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Étape 9.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3^{1}}{2}$

Étape 9.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3}{2}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ car cette hyperbole ouvre vers la gauche et vers la droite.

$y = \pm \sqrt{3} \cdot (x - (5)) + 2$

Étape 11

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \sqrt{3} \cdot (x - (5)) + 2$

Étape 11.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$y = \sqrt{3} \cdot (x - 5) + 2$

Étape 11.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \sqrt{3} x + \sqrt{3} \cdot - 5 + 2$

Étape 11.2.3

Déplacez $- 5$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$y = \sqrt{3} x - 5 \sqrt{3} + 2$

Étape 12

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

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Étape 12.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \sqrt{3} \cdot (x - (5)) + 2$

Étape 12.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$y = - \sqrt{3} \cdot (x - 5) + 2$

Étape 12.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \sqrt{3} x - \sqrt{3} \cdot - 5 + 2$

Étape 12.2.3

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$y = - \sqrt{3} x + 5 \sqrt{3} + 2$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \sqrt{3} x - 5 \sqrt{3} + 2, y = - \sqrt{3} x + 5 \sqrt{3} + 2$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(5, 2)$

Sommets : $(10, 2), (0, 2)$

Foyers : $(15, 2), (- 5, 2)$

Excentricité : $2$

Paramètre focal : $\frac{3}{2}$

Asymptotes : $y = \sqrt{3} x - 5 \sqrt{3} + 2$ , $y = - \sqrt{3} x + 5 \sqrt{3} + 2$

Étape 15