Pré-algèbre Exemples

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{27} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{169} = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{27} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{169} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 3 \sqrt{3}$

$b = 13$

$k = - 2$

$h = 1$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(1, - 2)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(3 \sqrt{3})}^{2} + {(13)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{3^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(13)}^{2}}$

Étape 5.3.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{9 {\sqrt{3}}^{2} + {(13)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 5.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(13)}^{2}}$

Étape 5.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(13)}^{2}}$

Étape 5.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(13)}^{2}}$

Étape 5.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(13)}^{2}}$

Étape 5.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{9 \cdot 3^{1} + {(13)}^{2}}$

Étape 5.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{9 \cdot 3 + {(13)}^{2}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $9$ par $3$ .

$\sqrt{27 + {(13)}^{2}}$

Étape 5.3.3.2

Élevez $13$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{27 + 169}$

Étape 5.3.3.3

Additionnez $27$ et $169$ .

$\sqrt{196}$

Étape 5.3.3.4

Réécrivez $196$ comme $14^{2}$ .

$\sqrt{14^{2}}$

Étape 5.3.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$14$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(1 + 3 \sqrt{3}, - 2)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(1 - 3 \sqrt{3}, - 2)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm a, k)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(1 + 3 \sqrt{3}, - 2), (1 - 3 \sqrt{3}, - 2)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(15, - 2)$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 13, - 2)$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(15, - 2), (- 13, - 2)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(3 \sqrt{3})}^{2} + {(13)}^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{9 {\sqrt{3}}^{2} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.3

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 8.3.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{9 \cdot 3^{1} + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{9 \cdot 3 + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.4

Multipliez $9$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{27 + 13^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.5

Élevez $13$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{27 + 169}}{3 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.6

Additionnez $27$ et $169$ .

$\frac{\sqrt{196}}{3 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.7

Réécrivez $196$ comme $14^{2}$ .

$\frac{\sqrt{14^{2}}}{3 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{14}{3 \sqrt{3}}$

Étape 8.3.2

Multipliez $\frac{14}{3 \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{14}{3 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.3.1

Multipliez $\frac{14}{3 \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 8.3.3.2

Déplacez $\sqrt{3}$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Étape 8.3.3.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Étape 8.3.3.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Étape 8.3.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 8.3.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 8.3.3.7

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 8.3.3.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.3.3.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.3.3.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.3.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.3.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.3.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{1}}$

Étape 8.3.3.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{14 \sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

Étape 8.3.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{14 \sqrt{3}}{9}$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{13^{2}}{14}$

Étape 9.3

Élevez $13$ à la puissance $2$ .

$\frac{169}{14}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ car cette hyperbole ouvre vers la gauche et vers la droite.

$y = \pm \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot (x - (1)) - 2$

Étape 11

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot (x - (1)) - 2$

Étape 11.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot (x - 1) - 2$

Étape 11.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{13 \sqrt{3}}{9} x + \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot - 1 - 2$

Étape 11.2.3

Associez $\frac{13 \sqrt{3}}{9}$ et $x$ .

$y = \frac{13 \sqrt{3} x}{9} + \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot - 1 - 2$

Étape 11.2.4

Multipliez $\frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot - 1$ .

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Étape 11.2.4.1

Associez $\frac{13 \sqrt{3}}{9}$ et $- 1$ .

$y = \frac{13 \sqrt{3} x}{9} + \frac{13 \sqrt{3} \cdot - 1}{9} - 2$

Étape 11.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $13$ .

$y = \frac{13 \sqrt{3} x}{9} + \frac{- 13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Étape 11.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{13 \sqrt{3} x}{9} - \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Étape 12

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

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Étape 12.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot (x - (1)) - 2$

Étape 12.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = - \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot (x - 1) - 2$

Étape 12.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{13 \sqrt{3}}{9} x - \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot - 1 - 2$

Étape 12.2.3

Associez $x$ et $\frac{13 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = - \frac{x (13 \sqrt{3})}{9} - \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot - 1 - 2$

Étape 12.2.4

Multipliez $- \frac{13 \sqrt{3}}{9} \cdot - 1$ .

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Étape 12.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = - \frac{x (13 \sqrt{3})}{9} + 1 \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Étape 12.2.4.2

Multipliez $\frac{13 \sqrt{3}}{9}$ par $1$ .

$y = - \frac{x (13 \sqrt{3})}{9} + \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Étape 12.2.5

Déplacez $13$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{13 x \sqrt{3}}{9} + \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{13 \sqrt{3} x}{9} - \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2, y = - \frac{13 x \sqrt{3}}{9} + \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(1, - 2)$

Sommets : $(1 + 3 \sqrt{3}, - 2), (1 - 3 \sqrt{3}, - 2)$

Foyers : $(15, - 2), (- 13, - 2)$

Excentricité : $\frac{14 \sqrt{3}}{9}$

Paramètre focal : $\frac{169}{14}$

Asymptotes : $y = \frac{13 \sqrt{3} x}{9} - \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$ , $y = - \frac{13 x \sqrt{3}}{9} + \frac{13 \sqrt{3}}{9} - 2$

Étape 15