Pré-algèbre Exemples

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{36} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{36} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{16} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 6$

$b = 4$

$k = 1$

$h = - 3$

Étape 4

Le centre d’une ellipse suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(- 3, 1)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’ellipse en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(6)}^{2} - {(4)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{36 - {(4)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{36 - 1 \cdot 16}$

Étape 5.3.3

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$\sqrt{36 - 16}$

Étape 5.3.4

Soustrayez $16$ de $36$ .

$\sqrt{20}$

Étape 5.3.5

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 5.3.5.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\sqrt{4 (5)}$

Étape 5.3.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Étape 5.3.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 \sqrt{5}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(- 3 + 6, 1)$

Étape 6.3

Simplifiez

$(3, 1)$

Étape 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule.

$(- 3 - (6), 1)$

Étape 6.6

Simplifiez

$(- 9, 1)$

Étape 6.7

Les ellipses ont deux sommets.

${Vertex}_{1}$ : $(3, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 9, 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(3, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 9, 1)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(- 3 + 2 \sqrt{5}, 1)$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(- 3 - (2 \sqrt{5}), 1)$

Étape 7.5

Simplifiez

$(- 3 - 2 \sqrt{5}, 1)$

Étape 7.6

Les ellipses ont deux foyers.

${Focus}_{1}$ : $(- 3 + 2 \sqrt{5}, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(- 3 - 2 \sqrt{5}, 1)$

${Focus}_{1}$ : $(- 3 + 2 \sqrt{5}, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(- 3 - 2 \sqrt{5}, 1)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} - {(4)}^{2}}}{6}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - 4^{2}}}{6}$

Étape 8.3.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - 1 \cdot 16}}{6}$

Étape 8.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$\frac{\sqrt{36 - 16}}{6}$

Étape 8.3.1.4

Soustrayez $16$ de $36$ .

$\frac{\sqrt{20}}{6}$

Étape 8.3.1.5

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 8.3.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{6}$

Étape 8.3.1.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{6}$

Étape 8.3.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{5}}{6}$

Étape 8.3.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 8.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 (\sqrt{5})}{6}$

Étape 8.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 3}$

Étape 8.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 3}$

Étape 8.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Étape 9

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une ellipse.

Centre : $(- 3, 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(3, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 9, 1)$

${Focus}_{1}$ : $(- 3 + 2 \sqrt{5}, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(- 3 - 2 \sqrt{5}, 1)$

Excentricité : $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Étape 10