Pré-algèbre Exemples

$\frac{x^{2}}{{(\frac{36}{5})}^{2}} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{1296}{25}} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = \frac{36}{5}$

$b = 4$

$k = 0$

$h = 0$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(0, 0)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(\frac{36}{5})}^{2} + {(4)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{36}{5}$ .

$\sqrt{\frac{36^{2}}{5^{2}} + {(4)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Élevez $36$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{5^{2}} + {(4)}^{2}}$

Étape 5.3.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + {(4)}^{2}}$

Étape 5.3.4

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 16}$

Étape 5.3.5

Pour écrire $16$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 16 \cdot \frac{25}{25}}$

Étape 5.3.6

Associez $16$ et $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + \frac{16 \cdot 25}{25}}$

Étape 5.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{1296 + 16 \cdot 25}{25}}$

Étape 5.3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.8.1

Multipliez $16$ par $25$ .

$\sqrt{\frac{1296 + 400}{25}}$

Étape 5.3.8.2

Additionnez $1296$ et $400$ .

$\sqrt{\frac{1696}{25}}$

Étape 5.3.9

Réécrivez $\sqrt{\frac{1696}{25}}$ comme $\frac{\sqrt{1696}}{\sqrt{25}}$ .

$\frac{\sqrt{1696}}{\sqrt{25}}$

Étape 5.3.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.10.1

Réécrivez $1696$ comme $4^{2} \cdot 106$ .

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Étape 5.3.10.1.1

Factorisez $16$ à partir de $1696$ .

$\frac{\sqrt{16 (106)}}{\sqrt{25}}$

Étape 5.3.10.1.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 106}}{\sqrt{25}}$

Étape 5.3.10.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{25}}$

Étape 5.3.11

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.11.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{5^{2}}}$

Étape 5.3.11.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{4 \sqrt{106}}{5}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(\frac{36}{5}, 0)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- \frac{36}{5}, 0)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm a, k)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(\frac{36}{5}, 0), (- \frac{36}{5}, 0)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(\frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0)$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- \frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0)$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(\frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0), (- \frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(\frac{36}{5})}^{2} + {(4)}^{2}}}{\frac{36}{5}}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{{(\frac{36}{5})}^{2} + 4^{2}} \frac{5}{36}$

Étape 8.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{36}{5}$ .

$\sqrt{\frac{36^{2}}{5^{2}} + 4^{2}} \frac{5}{36}$

Étape 8.3.3

Élevez $36$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{5^{2}} + 4^{2}} \frac{5}{36}$

Étape 8.3.4

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 4^{2}} \frac{5}{36}$

Étape 8.3.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 16} \frac{5}{36}$

Étape 8.3.6

Pour écrire $16$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 16 \cdot \frac{25}{25}} \frac{5}{36}$

Étape 8.3.7

Associez $16$ et $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + \frac{16 \cdot 25}{25}} \frac{5}{36}$

Étape 8.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{1296 + 16 \cdot 25}{25}} \frac{5}{36}$

Étape 8.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.9.1

Multipliez $16$ par $25$ .

$\sqrt{\frac{1296 + 400}{25}} \frac{5}{36}$

Étape 8.3.9.2

Additionnez $1296$ et $400$ .

$\sqrt{\frac{1696}{25}} \frac{5}{36}$

Étape 8.3.10

Réécrivez $\sqrt{\frac{1696}{25}}$ comme $\frac{\sqrt{1696}}{\sqrt{25}}$ .

$\frac{\sqrt{1696}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{36}$

Étape 8.3.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.11.1

Réécrivez $1696$ comme $4^{2} \cdot 106$ .

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Étape 8.3.11.1.1

Factorisez $16$ à partir de $1696$ .

$\frac{\sqrt{16 (106)}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{36}$

Étape 8.3.11.1.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 106}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{36}$

Étape 8.3.11.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{36}$

Étape 8.3.12

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.12.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{5^{2}}} \cdot \frac{5}{36}$

Étape 8.3.12.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{4 \sqrt{106}}{5} \cdot \frac{5}{36}$

Étape 8.3.13

Simplifiez les termes.

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Étape 8.3.13.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 8.3.13.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt{106}$ .

$\frac{4 (\sqrt{106})}{5} \cdot \frac{5}{36}$

Étape 8.3.13.1.2

Factorisez $4$ à partir de $36$ .

$\frac{4 (\sqrt{106})}{5} \cdot \frac{5}{4 (9)}$

Étape 8.3.13.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sqrt{106}}{5} \cdot \frac{5}{4 \cdot 9}$

Étape 8.3.13.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{106}}{5} \cdot \frac{5}{9}$

Étape 8.3.13.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 8.3.13.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{106}}{5} \cdot \frac{5}{9}$

Étape 8.3.13.2.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{106} \frac{1}{9}$

Étape 8.3.13.3

Associez $\sqrt{106}$ et $\frac{1}{9}$ .

$\frac{\sqrt{106}}{9}$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{\frac{4^{2}}{4 \sqrt{106}}}{5}$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Annulez le facteur commun à $4^{2}$ et $4$ .

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Étape 9.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4^{2}$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{106}}}{5}$

Étape 9.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt{106}$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 4}{4 (\sqrt{106})}}{5}$

Étape 9.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{106}}}{5}$

Étape 9.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{4}{\sqrt{106}}}{5}$

Étape 9.3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{4}{\sqrt{106}} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 9.3.3

Multipliez $\frac{4}{\sqrt{106}}$ par $\frac{\sqrt{106}}{\sqrt{106}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{106}} \cdot \frac{\sqrt{106}}{\sqrt{106}} \frac{1}{5}$

Étape 9.3.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.4.1

Multipliez $\frac{4}{\sqrt{106}}$ par $\frac{\sqrt{106}}{\sqrt{106}}$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{106} \sqrt{106}} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 9.3.4.2

Élevez $\sqrt{106}$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{{\sqrt{106}}^{1} \sqrt{106}} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 9.3.4.3

Élevez $\sqrt{106}$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{{\sqrt{106}}^{1} {\sqrt{106}}^{1}} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 9.3.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 \sqrt{106}}{{\sqrt{106}}^{1 + 1}} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 9.3.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{{\sqrt{106}}^{2}} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 9.3.4.6

Réécrivez ${\sqrt{106}}^{2}$ comme $106$ .

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Étape 9.3.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{106}$ comme $106^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{{(106^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 9.3.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{106^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 9.3.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{106^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 9.3.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sqrt{106}}{106^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 9.3.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \sqrt{106}}{106^{1}} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 9.3.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{4 \sqrt{106}}{106} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 9.3.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $106$ .

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Étape 9.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \sqrt{106}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{106})}{106} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 9.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $106$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{106})}{2 (53)} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 9.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 \sqrt{106})}{2 \cdot 53} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 9.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{106}}{53} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 9.3.6

Multipliez $\frac{2 \sqrt{106}}{53} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Étape 9.3.6.1

Multipliez $\frac{2 \sqrt{106}}{53}$ par $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2 \sqrt{106}}{53 \cdot 5}$

Étape 9.3.6.2

Multipliez $53$ par $5$ .

$\frac{2 \sqrt{106}}{265}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ car cette hyperbole ouvre vers la gauche et vers la droite.

$y = \pm \frac{5}{9} x + 0$

Étape 11

Simplifiez $\frac{5}{9} x + 0$ .

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Étape 11.1

Additionnez $\frac{5}{9} x$ et $0$ .

$y = \frac{5}{9} x$

Étape 11.2

Associez $\frac{5}{9}$ et $x$ .

$y = \frac{5 x}{9}$

Étape 12

Simplifiez $- \frac{5}{9} x + 0$ .

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Étape 12.1

Additionnez $- \frac{5}{9} x$ et $0$ .

$y = - \frac{5}{9} x$

Étape 12.2

Associez $x$ et $\frac{5}{9}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{9}$

Étape 12.3

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{5 x}{9}$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{5 x}{9}, y = - \frac{5 x}{9}$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(0, 0)$

Sommets : $(\frac{36}{5}, 0), (- \frac{36}{5}, 0)$

Foyers : $(\frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0), (- \frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0)$

Excentricité : $\frac{\sqrt{106}}{9}$

Paramètre focal : $\frac{2 \sqrt{106}}{265}$

Asymptotes : $y = \frac{5 x}{9}$ , $y = - \frac{5 x}{9}$

Étape 15