Pré-algèbre Exemples

$\frac{\frac{18 n^{2} + 81 n}{27 n^{2} - 63 n}}{\frac{12 n + 54}{15^{3} - 35 n^{2}}}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{5 (675 - 7 x^{2})}{6 (3 x - 7)}$ est indéfinie.

$x = \frac{7}{3}$

Étape 2

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 3

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Étape 4

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 5

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 5.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.1

Factorisez $5$ à partir de $3375 - 35 x^{2}$ .

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Étape 5.1.1.1

Factorisez $5$ à partir de $3375$ .

$\frac{5 (675) - 35 x^{2}}{18 x - 42}$

Étape 5.1.1.2

Factorisez $5$ à partir de $- 35 x^{2}$ .

$\frac{5 (675) + 5 (- 7 x^{2})}{18 x - 42}$

Étape 5.1.1.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (675) + 5 (- 7 x^{2})$ .

$\frac{5 (675 - 7 x^{2})}{18 x - 42}$

Étape 5.1.2

Factorisez $6$ à partir de $18 x - 42$ .

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Étape 5.1.2.1

Factorisez $6$ à partir de $18 x$ .

$\frac{5 (675 - 7 x^{2})}{6 (3 x) - 42}$

Étape 5.1.2.2

Factorisez $6$ à partir de $- 42$ .

$\frac{5 (675 - 7 x^{2})}{6 (3 x) + 6 (- 7)}$

Étape 5.1.2.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (3 x) + 6 (- 7)$ .

$\frac{5 (675 - 7 x^{2})}{6 (3 x - 7)}$

Étape 5.2

Développez $5 (675 - 7 x^{2})$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 \cdot 675 + 5 (- 7 x^{2})}{6 (3 x - 7)}$

Étape 5.2.2

Supprimez les parenthèses.

$\frac{5 \cdot 675 + 5 \cdot (- 7 x^{2})}{6 (3 x - 7)}$

Étape 5.2.3

Multipliez $5$ par $675$ .

$\frac{3375 + 5 \cdot (- 7 x^{2})}{6 (3 x - 7)}$

Étape 5.2.4

Multipliez $5$ par $- 7$ .

$\frac{3375 - 35 x^{2}}{6 (3 x - 7)}$

Étape 5.2.5

Remettez dans l’ordre $3375$ et $- 35 x^{2}$ .

$\frac{- 35 x^{2} + 3375}{6 (3 x - 7)}$

Étape 5.3

Développez $6 (3 x - 7)$ .

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Étape 5.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 35 x^{2} + 3375}{6 (3 x) + 6 \cdot - 7}$

Étape 5.3.2

Supprimez les parenthèses.

$\frac{- 35 x^{2} + 3375}{6 \cdot (3 x) + 6 \cdot - 7}$

Étape 5.3.3

Multipliez $6$ par $3$ .

$\frac{- 35 x^{2} + 3375}{18 x + 6 \cdot - 7}$

Étape 5.3.4

Multipliez $6$ par $- 7$ .

$\frac{- 35 x^{2} + 3375}{18 x - 42}$

Étape 5.4

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$18 x$

$42$

$35 x^{2}$

$0 x$

$3375$

Étape 5.5

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 35 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $18 x$ .

				-	$\frac{35 x}{18}$
	$18 x$	-	$42$	-	$35 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3375$

Étape 5.6

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$\frac{35 x}{18}$
$18 x$	-	$42$	-	$35 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3375$
			-	$35 x^{2}$	+	$\frac{245 x}{3}$

Étape 5.7

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 35 x^{2} + \frac{245 x}{3}$

			-	$\frac{35 x}{18}$
$18 x$	-	$42$	-	$35 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3375$
			+	$35 x^{2}$	-	$\frac{245 x}{3}$

Étape 5.8

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$\frac{35 x}{18}$
$18 x$	-	$42$	-	$35 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3375$
			+	$35 x^{2}$	-	$\frac{245 x}{3}$
					-	$\frac{245 x}{3}$

Étape 5.9

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$\frac{35 x}{18}$
$18 x$	-	$42$	-	$35 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3375$
			+	$35 x^{2}$	-	$\frac{245 x}{3}$
					-	$\frac{245 x}{3}$	+	$3375$

Étape 5.10

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- \frac{245 x}{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $18 x$ .

			-	$\frac{35 x}{18}$	-	$\frac{245}{54}$
$18 x$	-	$42$	-	$35 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3375$
			+	$35 x^{2}$	-	$\frac{245 x}{3}$
					-	$\frac{245 x}{3}$	+	$3375$

Étape 5.11

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$\frac{35 x}{18}$	-	$\frac{245}{54}$
$18 x$	-	$42$	-	$35 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3375$
			+	$35 x^{2}$	-	$\frac{245 x}{3}$
					-	$\frac{245 x}{3}$	+	$3375$
					-	$\frac{245 x}{3}$	+	$\frac{1715}{9}$

Étape 5.12

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- \frac{245 x}{3} + \frac{1715}{9}$

			-	$\frac{35 x}{18}$	-	$\frac{245}{54}$
$18 x$	-	$42$	-	$35 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3375$
			+	$35 x^{2}$	-	$\frac{245 x}{3}$
					-	$\frac{245 x}{3}$	+	$3375$
					+	$\frac{245 x}{3}$	-	$\frac{1715}{9}$

Étape 5.13

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$\frac{35 x}{18}$	-	$\frac{245}{54}$
$18 x$	-	$42$	-	$35 x^{2}$	+	$0 x$	+	$3375$
			+	$35 x^{2}$	-	$\frac{245 x}{3}$
					-	$\frac{245 x}{3}$	+	$3375$
					+	$\frac{245 x}{3}$	-	$\frac{1715}{9}$
							+	$\frac{28660}{9}$

Étape 5.14

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$- \frac{35 x}{18} - \frac{245}{54} + \frac{28660}{9 (18 x - 42)}$

Étape 5.15

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = - \frac{35 x}{18} - \frac{245}{54}$

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = \frac{7}{3}$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = - \frac{35 x}{18} - \frac{245}{54}$

Étape 7