Pré-algèbre Exemples

$| \frac{2 x - 1}{x} | < 2$

Étape 1

Écrivez $| \frac{2 x - 1}{x} | < 2$ comme fonction définie par morceaux.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$\frac{2 x - 1}{x} \geq 0$

Étape 1.2

Résolvez l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x = 0$

$2 x - 1 = 0$

Étape 1.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.4

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.5

Consolidez les solutions.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Étape 1.2.6

Déterminez le domaine de $| \frac{2 x - 1}{x} | - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x - 1}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 1.2.6.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 1.2.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Étape 1.2.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 1.2.8.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (- 2) - 1}{- 2} \geq 0$

Étape 1.2.8.1.3

Le côté gauche $2.5$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.2.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.25$

Étape 1.2.8.2.2

Remplacez $x$ par $0.25$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (0.25) - 1}{0.25} \geq 0$

Étape 1.2.8.2.3

Le côté gauche $- 2$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.2.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 1.2.8.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (3) - 1}{3} \geq 0$

Étape 1.2.8.3.3

Le côté gauche $1.\overline{6}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.2.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Vrai

$0 < x < \frac{1}{2}$ Faux

$x > \frac{1}{2}$ Vrai

$x < 0$ Vrai

$0 < x < \frac{1}{2}$ Faux

$x > \frac{1}{2}$ Vrai

Étape 1.2.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < 0$ ou $x \geq \frac{1}{2}$

Étape 1.3

Dans la partie où $\frac{2 x - 1}{x}$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$\frac{2 x - 1}{x} < 2$

Étape 1.4

Déterminez le domaine de $\frac{2 x - 1}{x} < 2$ et déterminez l’intersection avec $x < 0 or x \geq \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.4.1

Déterminez le domaine de $\frac{2 x - 1}{x} < 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x - 1}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 1.4.1.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 1.4.2

Déterminez l’intersection de $x < 0 or x \geq \frac{1}{2}$ et $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$x < 0 or x \geq \frac{1}{2}$

Étape 1.5

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$\frac{2 x - 1}{x} < 0$

Étape 1.6

Résolvez l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x = 0$

$2 x - 1 = 0$

Étape 1.6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 1.6.3

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 1.6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 1.6.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 1.6.4

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = \frac{1}{2}$

Étape 1.6.5

Consolidez les solutions.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Étape 1.6.6

Déterminez le domaine de $| \frac{2 x - 1}{x} | - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x - 1}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 1.6.6.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 1.6.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Étape 1.6.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 1.6.8.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (- 2) - 1}{- 2} < 0$

Étape 1.6.8.1.3

Le côté gauche $2.5$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.6.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.25$

Étape 1.6.8.2.2

Remplacez $x$ par $0.25$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (0.25) - 1}{0.25} < 0$

Étape 1.6.8.2.3

Le côté gauche $- 2$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.6.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 1.6.8.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 (3) - 1}{3} < 0$

Étape 1.6.8.3.3

Le côté gauche $1.\overline{6}$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.6.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < \frac{1}{2}$ Vrai

$x > \frac{1}{2}$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < \frac{1}{2}$ Vrai

$x > \frac{1}{2}$ Faux

Étape 1.6.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 < x < \frac{1}{2}$

Étape 1.7

Dans la partie où $\frac{2 x - 1}{x}$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- \frac{2 x - 1}{x} < 2$

Étape 1.8

Déterminez le domaine de $- \frac{2 x - 1}{x} < 2$ et déterminez l’intersection avec $0 < x < \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1

Déterminez le domaine de $- \frac{2 x - 1}{x} < 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.1.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x - 1}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 1.8.1.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 1.8.2

Déterminez l’intersection de $0 < x < \frac{1}{2}$ et $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$0 < x < \frac{1}{2}$

Étape 1.9

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} \frac{2 x - 1}{x} < 2 & x < 0 or x \geq \frac{1}{2} \\ - \frac{2 x - 1}{x} < 2 & 0 < x < \frac{1}{2} \end{cases}$

Étape 2

Résolvez $\frac{2 x - 1}{x} < 2$ quand $x < 0 or x \geq \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.1

Résolvez $\frac{2 x - 1}{x} < 2$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{2 x - 1}{x} - 2 < 0$

Étape 2.1.2

Simplifiez $\frac{2 x - 1}{x} - 2$ .

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Étape 2.1.2.1

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 x - 1}{x} - 2 \cdot \frac{x}{x} < 0$

Étape 2.1.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 x - 1}{x} + \frac{- 2 x}{x} < 0$

Étape 2.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x - 1 - 2 x}{x} < 0$

Étape 2.1.2.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.4.1

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{0 - 1}{x} < 0$

Étape 2.1.2.4.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{- 1}{x} < 0$

Étape 2.1.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{x} < 0$

Étape 2.1.3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x = 0$

Étape 2.1.4

Déterminez le domaine de $- \frac{1}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 2.1.4.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 2.1.5

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x > 0$

Étape 2.2

Déterminez l’intersection de $x > 0$ et $x < 0 or x \geq \frac{1}{2}$ .

$x \geq \frac{1}{2}$

Étape 3

Résolvez $- \frac{2 x - 1}{x} < 2$ quand $0 < x < \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Résolvez $- \frac{2 x - 1}{x} < 2$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$- \frac{2 x - 1}{x} - 2 < 0$

Étape 3.1.2

Simplifiez $- \frac{2 x - 1}{x} - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{2 x - 1}{x} - 2 \cdot \frac{x}{x} < 0$

Étape 3.1.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{2 x - 1}{x} + \frac{- 2 x}{x} < 0$

Étape 3.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- (2 x - 1) - 2 x}{x} < 0$

Étape 3.1.2.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- (2 x) - - 1 - 2 x}{x} < 0$

Étape 3.1.2.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 x - - 1 - 2 x}{x} < 0$

Étape 3.1.2.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 x + 1 - 2 x}{x} < 0$

Étape 3.1.2.4.4

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{- 4 x + 1}{x} < 0$

Étape 3.1.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{- (4 x) + 1}{x} < 0$

Étape 3.1.2.6

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (4 x) - 1 (- 1)}{x} < 0$

Étape 3.1.2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (4 x - 1)}{x} < 0$

Étape 3.1.2.8

Réécrivez $- (4 x - 1)$ comme $- 1 (4 x - 1)$ .

$\frac{- 1 (4 x - 1)}{x} < 0$

Étape 3.1.2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 x - 1}{x} < 0$

Étape 3.1.3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x = 0$

$4 x - 1 = 0$

Étape 3.1.4

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = 1$

Étape 3.1.5

Divisez chaque terme dans $4 x = 1$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.5.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 1$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 3.1.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.5.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 3.1.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Étape 3.1.6

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = \frac{1}{4}$

Étape 3.1.7

Consolidez les solutions.

$x = 0, \frac{1}{4}$

Étape 3.1.8

Déterminez le domaine de $- \frac{4 x - 1}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.8.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 x - 1}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 3.1.8.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 3.1.9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{4}$

$x > \frac{1}{4}$

Étape 3.1.10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 3.1.10.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$- \frac{2 (- 2) - 1}{- 2} < 2$

Étape 3.1.10.1.3

Le côté gauche $- 2.5$ est inférieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 3.1.10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{1}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{1}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.12$

Étape 3.1.10.2.2

Remplacez $x$ par $0.12$ dans l’inégalité d’origine.

$- \frac{2 (0.12) - 1}{0.12} < 2$

Étape 3.1.10.2.3

Le côté gauche $6.\overline{3}$ n’est pas inférieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 3.1.10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{1}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 3.1.10.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$- \frac{2 (3) - 1}{3} < 2$

Étape 3.1.10.3.3

Le côté gauche $- 1.\overline{6}$ est inférieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 3.1.10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Vrai

$0 < x < \frac{1}{4}$ Faux

$x > \frac{1}{4}$ Vrai

$x < 0$ Vrai

$0 < x < \frac{1}{4}$ Faux

$x > \frac{1}{4}$ Vrai

Étape 3.1.11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < 0$ ou $x > \frac{1}{4}$

Étape 3.2

Déterminez l’intersection de $x < 0 or x > \frac{1}{4}$ et $0 < x < \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$

Étape 4

Déterminez l’union des solutions.

$x > \frac{1}{4}$

Étape 5

Déterminez le domaine de $| \frac{2 x - 1}{x} | - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x - 1}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 5.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 6

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x > \frac{1}{4}$

Étape 7